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讲义一:《因式分解》专题辅导讲义

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2020-02-29 10:05数学 377 ℃
因式分解公式

因式分解专题辅导讲义 一个多项式进行因式分解,从方法上说,一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性。提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法。现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法。 提公因式法和公式法本身不难掌握,但要灵活机动地运用它们,还需要认真思考。
请看下面几道例题。
例题精选
1:把a4b2a2b4因式分解。
解法
1:a4b2a2b4a2b2(a2b2)a2b2(ab)(ab) 解法
2:a4b2a2b4(a2bab2)(a2bab2)ab(ab)ab(ab)a2b2(ab)(ab) 评注:解法1先用提公因式法,再用公式法;解法2先用公式法,再用提公因式法。虽然两种解法得到同样的结果,但是解法1更简单。
通常情况下,先考虑提公因式可以使解法简化。
有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法,这时就需要先把多项式适当整理变形,然后再使用提公因式法或公式法。 例题精选
2: 把a2ca22abb2b2c因式分解。 解:a2ca22abb2b2c(a2cb2c)(a22abb2)c(ab)(ab)(ab)2 (ab)[c(ab)(ab)](ab)(acbcab) 评注:这样先将多项式的各项进行分组,然后再分解因式的方法叫做分组分解法。
例题精选
3: 把a44b4因式分解。 解:a44b4(a44a2b24b4)4a2b2(a22b2)2(2ab)2 (a22ab2b2)(a22ab2b2)。 评注:多项式a44b4中只有两项,既不能提公因式,也不能直接用公式。
但由于这两项再加上4a2b2就是(a22b2)2,所以先对a44b4加、减4a2b2,再适当分组,然后使用公式法,最终就能因式分解。
上面的解法中,把a44b4变形为(a44a2b24b4)4a2b2,形式上是由简单变复杂了,但变化后的形式为使用公式法创造了条件。 因式分解要进行到什么程度,对于单纯的因式分解题目,一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解,例如,把a4b4因式分解时,得到(a2b2)(a2b2),并未完全达到第 1 页

要求,还需要继续分解到(a2b2)(ab)(ab)。 在解决计算、化简、解方程等问题的过程中,当因式分解作为中间步骤时,应根据具体问题来决定分解到什么程度合适。 例题精选
4:已知a2b21,a2b20.5,计算a4b4。
解:a4b4(a2b2)(a2b2)10.50.5。
评注:上面解法中,因式分解只是中间步骤,只要分解到(a2b2)(a2b2)问题就解决了,继续分解反而不利于解决问题。 我们知道,代数式中的字母是数的抽象表示。因此,因式分解是在某种数的范围中进行的,对于不同的数的范围,对同一多项式的因式分解,要进行到的程度也可能有所不同。
例题精选
5:

(1)在有理数范围内把a44因式分解;

(2)在实数范围内把a44因式分解。 解:

(1)a44(a22)(a22);

(2)a44(a22)(a22)(a22)(a2)(a2)。 评注:初中数学教科书中,如无特别声明,通常约定因式分解是在有理数范围内进行的。
5. 因式分解有什么用 因式分解是多项式的分解变形,式子变形不是无意义的变来变去的数学游戏,而是解决数学问题的重要手段。在计算、化简、解方程等问题中,因式分解可以发挥重要作用。 例题精选
6:计算a1 222a2bab分析:这是两个分式相减,它们的分母不同,正如异分母分数相加减一样,这里也需要先通分。
分数的通分中,可以先分解因数,再确定最简公分母,例如: 1111235。 64232222322312类似地,分式的通分中,可以先分解因式,再确定最简公分母。
解:a1a12aab a2b22a2b(ab)(ab)2(ab)2(ab)(ab)2(ab)(ab)2aabab11 2(ab)(ab)2(ab)(ab)2(ab)2a2b 例题精选
7:例 解方程x26x50。 分析:这是一个一元二次方程。它的一边等于0,如果能将它的另一边分解为两个一次第 2 页

式的乘积,则可知当这两个因式中任何一个等于0时,乘积都等于0,于是可以得出方程的解。 解:原方程可化为(x26x9)40,(x3)2220,分解因式,得到(x5)(x1)0。
所以x15,x21。 总之,因式分解是针对多项式的一种分解变形,它是解决许多数学问题的一种重要手段。 当堂检测 一、填空:(30分)

1、若x22(m3)x16是完全平方式,则m的值等于_____。

2、x2xm(xn)2则m=____n=____

3、2x3y2与12x6y的公因式是_____

4、若xmyn=(xy2)(xy2)(x2y4),则m=_______,n=_________。

5、在多项式m2n2,a2b2,x44y2,4s29t4中,可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ,其结果是 _____________________。

6、若x2(m3)x16是完全平方式,则m=_______。

7、x(_____) x2(x2)(x_____)

8、已知1xxx22200422x20050,则x2006________.

9、若16(ab)M25是完全平方式M=________。

10、x6x__(x3), x___9(x3)

222211、若9xky是完全平方式,则k=_______。

222212、若x4x4的值为0,则3x12x5的值是________。

13、若xax15(x1)(x15)则a=_____。 第 3 页 2



14、若xy4,x2y26则xy___。

215、方程x4x0,的解是________。
二、选择题:(10分)

1、多项式a(ax)(xb)ab(ax)(bx)的公因式是( ) A、-a、 B、a(ax)(xb) C、a(ax) D、a(xa)

2、若mx2kx9(2x3)2,则m,k的值分别是( ) A、m=—2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=—4,k=—

12、D m=4,k=

12、

3、下列名式:x2y2,x2y2,x2y2,(x)2(y)2,x4y4中能用平方差公 式分解因式的有( ) A、1个,B、2个,C、3个,D、4个

4、计算(11111)(1)(1)(1)的值是( ) 232223910 A、11111,C.,D. B、2010202三、分解因式:(30分) 1 、x2x35x 2 、 3x3x 3 、 25(x2y)4(2yx)

4、x4xy14y

5、xx

6、x1

7、axbxbxaxba

8、x18x81 第 4 页 224252432622222

9 、9x436y2

10、(x1)(x2)(x3)(x4)24 四、代数式求值(15分)

1、 已知2xy

2、 若x、y互为相反数,且(x2)2(y1)24,求x、y的值

3、 已知ab2,求(a2b2)28(a2b2)的值 五、计算:

(15) 1,xy2,求 2x4y3x3y4的值。 331

(1) 0.753.662.66

(2) 42

(3)25685622244 222001122000 六、试说明:对于任意自然数n,(n7)(n5)都能被动24整除。
(8分) 22第 5 页

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