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1954年全国高考数学试题及答案

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-11-22 18:32英语 103 ℃
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一、下列六题顺次解答,不必抄题(但须写明题号:甲,乙,丙,……).结果务须明确,过程可以简单.



丁、直角三角形弦上半圆的面积等于勾上半圆与股上半圆
面积之和,试证明之.
戊、已知球的半径为r,求内接正方体的体积.
己、已知三角形的一边之长为a ,两邻角为β 及γ ,求计算边
长 b的计算公式.

[Key]    一、下列六题顺次解答,不必抄题,结果务须明确,过程可以简单.
乙、解:原式可化为

于是有

丙、解:由 (3.02)4=(3+0.02)4
=34+4×33×0.02+6×32×(0.02)2
+4×3×(0.02)3+(0.02)4,
可知第4项的值已小于0.01,所以,计算可到第3项为止,其误差必小于千分之一.
(3.02)4  =34+4×33×0.02+6×32×(0.02)2
=81+2.16+0.0216
=83.182
丁、证:设直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,则有
c2=a2+b2

即弦上半圆面积=勾上半圆面积+股上半圆的面积.
戊、解:内接正方体的中心即该球的球心.正方体过中心的对角线为该球的直径,故其长为2r.若设正方体的边长为a,则有

所以内接正方体的体积

己、解:由正弦定理可知



二、描绘y=3x2-7x-1之图象,并按下列条件分别求x 的值的范围:
(i)y>0;  (ii)y<0.

[Key]    二、解:将原方程变形,可得


抛物线与x轴的交点为:




当y>0时,x的取值范围为:


当y<0时,x的取值范围为:


三、假设两圆互相外切,求证用连心线段为直径所作的圆必与前两圆的外公切线相切.

[Key]      三、证明:设⊙O1及⊙O2为互相外切的二圆,其中一外公切线为A1A2,切点A1及A2(如图),令点O为连心线O1O2的中点,过O作OA⊥A1A2.

∴  以O1O2为直径,即以O为圆心,OA为半径的圆必与直线A1A2相切.
同理可证,此圆必切于⊙O1及⊙O2的另外一条外公切线.




[Key]     
cosx+sinx=(cosx+sinx)2(cosx-sinx),
(cosx+sinx)(1-cos2x+sinx2)=0,
2(cosx+sinx)·sin2x=0,
∴  cosx+sinx=0,sin2x=0.
由方程  cosx+sinx=0得,tgx=-1.

由方程    sin2x=0,得
x=kπ(k为整数).
由检验可知


五、有一直圆锥,全面积为a;与之同底同高之直圆柱全面积为a′.求该圆锥高与母线之比.



[Key]      五、解:设直圆锥的高为h,底面半径为R,母线长为l,则

∴    2a(R+h)=al).


两边同乘以,可得

等式两边平方,



=16a(2a-a′)3>0,
∴该一元二次方程有两个实根,解得

即为圆锥的高与母线的比.。

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