数学九年级上册特殊四边形单元测试题(含答案)_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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数学九年级上册特殊四边形单元测试题(含答案)

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-12-13 16:44数学 472 ℃
九年级数学(上)单元测试卷4
第一章单元测试卷
(时间:100分钟  满分:120分)
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)
1. 下列说法中,正确的是( C )
A.相等的角一定是对顶角          B.四个角都相等的四边形一定是正方形
C.平行四边形的对角线互相平分    D.矩形的对角线一定垂直
2. 下列命题中,真命题是(D)
A.两条对角线垂直的四边形是菱形   B.对角线垂直且相等的四边形是正方形
C.两条对角线相等的四边形是矩形      D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
3. 菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为(C)
A.2      B.       C.1      D.
4. 如图,将一张长方形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.如果要剪出一个正方形,那么剪口线与折痕成(C)
A.22.5°角  B.30°角  C.45°角    D.60°角
,第5题图)  ,第6题图)  ,第7题图)
5. 如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( C )
A.90°  B.60°  C.45°  D.30°
6. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6 cm,8 cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是(B)
A. cm          B. cm      C. cm      D.5 cm
7. 如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是(D)
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形         B.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
C.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形   D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
8. 如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,过点A,C作相距为2的平行线段AE,CF,分别交CD,AB于点E,F,则DE的长是( D )
A.           B.             C.1        D.
,第8题图) ,第9题图)  ,第10题图)
9. 如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是(D)
A.       B.   C.1-    D. -1
10. 如图,点E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点,BE=BC,点P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于R,则PQ+PR的值为(D)
A.     B.       C.         D.
二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
11. 已知菱形的周长是20 cm,一条对角线长为8 cm,则菱形的另一条对角线长为6cm.
12. 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件AB=BC(答案不唯一),使其成为正方形.(只填一个即可)
13. 如图,点E为正方形ABCD外一点,AE=AD,∠ADE=75°,则∠AEB=30°.
,第13题图)   ,第15题图) ,第16题图)
14. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm,则它的面积是30cm2.
15. 如图,矩形ABCD的对角线BD的中点为O,过点O作OE⊥BC于点E,连接OA,已知AB=5,BC=12,则四边形ABEO的周长为20.
16. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,则点E的坐标为__(3,)__.
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,∠ADE=∠CDF.
(1)求证:AE=CF;
(2)连接DB交EF于点O,延长OB至G,使OG=OD,连接EG,FG,判断四边形DEGF是否是菱形,并说明理由.
证明:(1)在正方形ABCD中,AD=CD,∠A=∠C=90°,在△ADE和△CDF中,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF (2)四边形DEGF是菱形.理由如下:在正方形ABCD中,AB=BC,∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴BD垂直平分EF,∴EO=FO.又∵OG=OD,DE=DF,∴四边形DEGF是菱形

18. 如图,已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4,周长为40 cm,求菱形的高及面积.
解:∵BD∶AC=3∶4,∴设BD=3x,AC=4x,∴BO=,AO=2x,又∵AB2=BO2+AO2,∴AB=x,∵菱形的周长是40 cm,∴AB=40÷4=10(cm),即x=10,∴x=4,∴BD=12 cm,AC=16 cm,∴S菱形ABCD=BD·AC=×12×16=96(cm2),又∵S菱形ABCD=AB·h,∴h==9.6(cm),菱形的高是9.6 cm,面积是96 cm2
19. 如图,在矩形ABCD中,点E为AD边上一点,EF⊥CE,交AB于点F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,求AE的长.
解:∵EF⊥EC,∴∠1+∠3=90°.∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠1=∠2.又∵EF=EC,∴△EFA≌△CED(AAS),∴AE=CD.设AE=x,则DC=x.由矩形的周长为16得2x+2=8,∴x=3,即AE的长为3
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20. 如图,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB.
(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形
(2)AB=AD(或AC⊥BD答案不唯一).理由:∵四边形ABCD是矩形,又∵AB=AD,∴四边形ABCD是正方形(或:∵四边形ABCD是矩形,又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是正方形)
21. 如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.
(1)求证:△DCA≌△EAC;
(2)只需添加一个条件,即AD=BC(答案不唯一),可使四边形ABCD为矩形,请加以证明.
解:(1)在△DCA和△EAC中,∴△DCA≌△EAC(SSS) (2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形.理由:∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由(1)知△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形
22. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE的延长线上,且AF=CE=AE.
(1)求证:四边形ACEF是平行四边形;
(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.
解:(1)由题意知∠FDC=∠DCA=90°,∴EF∥CA,∴∠AEF=∠EAC.∵AF=CE=AE,∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA.又∵AE=EA,∴△AEC≌△EAF,∴EF=CA,∴四边形ACEF是平行四边形 (2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.理由:∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=AB.∵DE垂直平分BC,∴BE=CE.∵AE=CE,∴AE=BE=CE=AB,∴AC=CE,由(1)得四边形ACEF是平行四边形,∴四边形ACEF是菱形
五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23. 如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF.
(1)求证:BE=BF;
(2)若∠ABE=20°,求∠BFE的度数;
(3)若AB=6,AD=8,求AE的长.
解:(1)由题意得∠BEF=∠DEF.∵四边形ABCD为矩形,∴DE∥BF,∴∠BFE=∠DEF,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF (2)∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABF=90°;而∠ABE=20°,∴∠EBF=90°-20°=70°;又∵∠BEF=∠BFE,∴∠BFE的度数为55° (3)由题意知BE=DE;设AE=x,则BE=DE=8-x,由勾股定理得(8-x)2=62+x2,解得x=,即AE的长为
24. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t s(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗。如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形。请说明理由.
解:(1)∵∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t,∴DF=2t,又∵AE=2t,∴AE=DF (2)能,理由:∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF,又∵AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形,当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,即60-4t=2t,解得t=10,∴当t=10秒时,四边形AEFD为菱形 (3)①当∠DEF=90°时,由(1)知四边形AEFD为平行四边形,∴EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°,∵∠A=60°,∴∠AED=30°,∴AD=AE=t,又AD=60-4t,即60-4t=t,解得t=12;②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,在Rt△AED中∠A=60°,则∠ADE=30°,∴AD=2AE,即60-4t=4t,解得t=;③若∠EFD=90°,则E与B重合,D与A重合,此种情况不存在.综上所述,当t=s或12 s时,△DEF为直角三角形。

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