2019年中考数学专题复习专题九分类讨论型问题训练_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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2019年中考数学专题复习专题九分类讨论型问题训练

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-12-13 17:36数学 718 ℃
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(15)

2019年中考数学专题复习专题九分类讨论型问题训练
类型一 由概念内涵分类
(2018·江苏盐城中考)如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P,Q分别为边BC,AB上的两个动点,若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,则AQ=________.
【分析】分两种情形分别求解:①当AQ=PQ,∠QPB=90°时,②当AQ=PQ,∠PQB=90°时.
【自主解答】
此类题型与概念的条件有关,如等腰三角形有两条边相等,直角三角形有一个角是直角等,解决此类问题的关键是对概念内涵的理解,而且在分类讨论之后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形).
1.(2018·浙江温州中考)如图,已知P为锐角∠MAN内部一点,过点P作PB⊥AM于点B,PC⊥AN于点C,以PB为直径作⊙O,交直线CP于点D,连结AP,BD,AP交⊙O于点E.
(1)求证:∠BPD=∠BAC.
(2)连结EB,ED,当tan∠MAN=2,AB=2时,在点P的整个运动过程中.
①若∠BDE=45°,求PD的长;
②若△BED为等腰三角形,求所有满足条件的BD的长.
(3)连结OC,EC,OC交AP于点F,当tan∠MAN=1,OC∥BE时,记△OFP的面积为S1,△CFE的面积为S2,请写出的值.
类型二 由公式条件分类
(2018·江苏宿迁中考)在平面直角坐标系中,过点(1,2)作直线l,若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4,则满足条件的直线l的条数是(  )
A.5  B.4 C.3  D.2
【分析】根据题意可以设出直线l的函数表达式,然后根据题意即可求得k的值,从而可以解答本题.
【自主解答】
2.(2018·浙江宁波中考)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P,当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为__________.
类型三 由位置不确定分类
(2018·山东潍坊中考)如图1,在▱ABCD中,DH⊥AB于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB于点F,AB=6,DH=4,BF∶FA=1∶5.
(1)如图2,作FG⊥AD于点G,交DH于点M,将△DGM沿DC方向平移,得到△CG′M′,连结M′B.
①求四边形BHMM′的面积;
②直线EF上有一动点N,求△DNM周长的最小值.
(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK∥AB,过CD边上的动点P作PK∥EF,并与QK交于点K,将△PKQ沿直线PQ翻折,使点K的对应点K′恰好落在直线AB上,求线段CP的长.
【分析】(1)①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可;
②连结CM交直线EF于点N,连结DN,利用勾股定理解答即可;
(2)分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答.
【自主解答】
3.(2018·贵州铜仁中考)在同一平面内,设a,b,c是三条互相平行的直线,已知a与b的距离为4 cm,b与c的距离为1 cm,则a与c的距离为(    )
A.1 cmB.3 cm
C.5 cm或3 cmD.1 cm或3 cm
4.(2018·山东威海中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,与BC交于点E,对称轴l与x轴交于点H.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求点D的坐标;
(3)点P为x轴上一点,⊙P与直线BC相切于点Q,与直线DE相切于点R.求点P的坐标;
(4)点M为x轴上方抛物线上的点,在对称轴l上是否存在一点N,使得以点D,P,M,N为顶点的四边形是平行四边形。若存在,则直接写出N点坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
类型一

【例1】①如图,当AQ=PQ,∠QPB=90°时,设AQ=PQ=x.
∵PQ∥AC,∴△BPQ∽△BCA,
∴=,∴=,
∴x=,∴AQ=.
②如图,当AQ=PQ,∠PQB=90°时,设AQ=PQ=y.
∵△BQP∽△BCA,∴=,
∴=,∴y=.
综上所述,满足条件的AQ的值为或.
故答案为或.
变式训练
1.解:(1)∵PB⊥AM,PC⊥AN,
∴∠ABP=∠ACP=90°,
∴∠BAC+∠BPC=180°.
又∠BPD+∠BPC=180°,
∴∠BPD=∠BAC.
(2)①如图,连结DE,OC,EC.
∵∠APB=∠BDE=45°,∠ABP=90°,
∴BP=AB=2.
∵∠BPD=∠BAC,
∴tan∠BPD=tan∠BAC,
∴=2,∴BP=PD,∴PD=2.
②当BD=BE时,∠BED=∠BDE,
∴∠BPD=∠BPE=∠BAC,
∴tan∠BPE=2.
∵AB=2,∴BP=,∴BD=2.
当BE=DE时,∠EBD=∠EDB.
∵∠APB=∠BDE,∠DBE=∠APC,
∴∠APB=∠APC,∴AC=AB=2.
如图,过点B作BG⊥AC于点G,得四边形BGCD是矩形.
∵AB=2,tan∠BAC=2,
∴AG=2,∴BD=CG=2-2.
当BD=DE时,∠DEB=∠DBE=∠APC.
∵∠DEB=∠DPB=∠BAC,
∴∠APC=∠BAC.
设PD=x,则BD=2x,
∴=2,∴=2,
∴x=,∴BD=2x=3.
综上所述,当BD=2,3或2-2时,△BDE为等腰三角形.
(3)如图,过点O作OH⊥DC于点H.
∵tan∠BPD=tan∠MAN=1,∴BD=PD.
设BD=PD=2a,PC=2b,
则OH=a,CH=a+2b,AC=4a+2b.
∵OC∥BE且∠BEP=90°,∴∠PFC=90°,
∴∠PAC+∠APC=∠OCH+∠APC=90°,
∴∠OCH=∠PAC,∴△ACP∽△CHO,
∴=,即OH·AC=CH·PC,
∴a(4a+2b)=2b(a+2b),∴a=b,
即CP=2a,CH=3a,则OC=a.
∵△CPF∽△COH,
∴=,即=,
则CF=a,OF=OC-CF=a.
∵BE∥OC且BO=PO,
∴OF为△PBE的中位线,
∴EF=PF,∴==.
类型二

【例2】 设过点(1,2)的直线l的函数表达式为y=kx+b.
由2=k+b得b=2-k,∴y=kx+2-k.
当x=0时,y=2-k,当y=0时,x=,
令=4,
解得k1=-2,k2=6-4,k3=6+4,
故满足条件的直线l的条数是3条.故选C.
变式训练
2.3或4
类型三

【例3】 (1)①在▱ABCD中,AB=6,直线EF垂直平分CD,
∴DE=FH=3.
又BF∶FA=1∶5,∴AH=2.
∵Rt△AHD∽Rt△MHF,∴=,
即=,
∴HM=1.5.
根据平移的性质得MM′=CD=6,如图,连结BM,
四边形BHMM′的面积=×6×1.5+×4×1.5=7.5.
②如图,连结CM交直线EF于点N,连结DN.
∵直线EF垂直平分CD,∴CN=DN,
∵MH=1.5,∴DM=2.5.
在Rt△CDM中,MC2=DC2+DM2,
∴MC2=62+(2.5)2,即MC=6.5.
∵MN+DN=MN+CN=MC,
∴△DNM周长的最小值为9.
(2)∵BF∥CE,∴==,
∴QF=2,∴PK=PK′=6.
如图,过点K′作E′F′∥EF,分别交CD于点E′,交QK于点F′.
当点P在线段CE上时,
在Rt△PK′E′中,PE′2=PK′2-E′K′2,
∴PE′=2.
∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q,
∴=,即=,
解得QF′=,∴PE=PE′-EE′=2-=,
∴CP=.
同理可得,如图,当点P在线段DE上时,CP=.
综上所述,CP的长为或.
变式训练
3.C
4.解:(1)∵抛物线过点A(-4,0),B(2,0),
∴设抛物线表达式为y=a(x+4)(x-2).
把C(0,4)代入得4=a(0+4)(0-2),
∴a=-,
∴抛物线表达式为y=-(x+4)(x-2)=-x2-x+4.
(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=-=-1.
∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,
∴点D在对称轴上.
设点D坐标为(-1,m)
如图,过点C作CG⊥l于G,连结DC,DB,
∴DC=DB.
在Rt△DCG和Rt△DBH中,
∵DC2=12+(4-m)2,DB2=m2+(2+1)2,
∴12+(4-m)2=m2+(2+1)2,解得m=1,
∴点D坐标为(-1,1).
(3)∵点B坐标为(2,0),C点坐标为(0,4),
∴BC==2.
∵EF为BC的中垂线,
∴BE=.
在Rt△BEF和Rt△BOC中,cos∠CBF==,
∴=,∴BF=5,EF==2,OF=3.
设⊙P的半径为r,⊙P与直线BC和EF都相切,
①如图,当圆心P1在直线BC左侧时,连结P1Q1,P1R1,则P1Q1=P1R1=r1,
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°,
∴四边形P1Q1ER1是正方形,
∴ER1=P1Q1=r1.
在Rt△BEF和Rt△FR1P1中,tan∠1==,
∴=,∴r1=.
∵sin∠1==,
∴FP1=,OP1=,
∴点P1坐标为(,0).
②同理,如图,当圆心P2在直线BC右侧时,连结P2Q2,P2R2,
可求r2=2,OP2=7,
∴P2坐标为(7,0),
∴点P坐标为(,0)或(7,0).
(4)存在.N点坐标为(-1,),(-1,),(-1,-).。

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