初二几何的求最小值问题_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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初二几何的求最小值问题

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-11-13 23:43数学 437 ℃
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在初二上学期学习了轴对称的知识,就经常遇到求最小值的问题。我记得当时学习了做轴对称图形以后,遇到实际问题的作图与求最短路径问题。像是将军饮马问题或是修电站问题再或是打台球时球的路线问题这都是同一个问题,都是求最小值问题的代表。

例如:有位将军从牧场(M)放牧归营,先到河边给马饮水,然后再回营地(N)。
已知营地和牧场均在河的同一侧,怎样走才能使所行路线最短。
解:(利用:两点之间线段最短来求)MN在同侧,故将M或N沿直线L对称,得到M`,然后连接M`N,交L于P,P就是水站的位置因为M`P=MP

这类问题绝大多数的学生都能理解和掌握。可是把这个问题迁移到初二下学期学习的四边形里面,再和动点问题一结合,很多的学生就感觉困难了。
例如:菱形ABCD中,AB=2,角BAD=60度,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,求PE+PB的最小值

解:作FP中点,连接PF,由菱形的性质易证FP=PE,故当F,P,B运动到一条直线上时,PE+OB取最小值。
此时AB=2AF,因为∠FAB=60°,所以△AFB是直角三角形,PE+PB=FB=√3×AF=√3.

还有一类题并不是证明最小,而是要求是定值。

例如:在矩形ABCD中,O是对角线AC,BD交点。
P是边BC上一点,过P向BO,OC作垂线,交于点M,N。求证PM+PN是定值。

解:连接OP,因为四边形ABCD是矩形,故OB=OC,=BC×h(h是△BOC的高,是定值)
=+=BO×(MP+NP)/2,因为BO是定值,S△BOC是定值,故MP+NP也是定值

这是我在初二的几何教学中遇到的,学生感觉很难的求最小值问题。经过对于前面学习过的几何知识的整合,以及结合下学期学习的四边形知识的综合运用,这是我以后教学仍要注意的地方。




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