九年级数学二次函数几何压轴题专题练习(含答案)_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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九年级数学二次函数几何压轴题专题练习(含答案)

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-11-13 23:52数学 935 ℃
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1.如图,抛物线与轴的负半轴交于点,与轴交于点,连结,点C(6,)在抛物线上,直线与轴交于点.
(1)求的值及直线的函数表达式;
(2)点在轴正半轴上,点在轴正半轴上,连结与直线交于点,连结并延长交于点,若为的中点.
①求证:;
②设点的横坐标为,求的长(用含的代数式表示).

【答案】(1)c=-3; 直线AC的表达式为:y=x+3;
(2)①证明略;②
2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.


(1)求直线AE的解析式;

(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;

(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰三角形。若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】

(1)y=x+.

(2)3,

(3)点Q的坐标为(3,),Q′(3,)或(3,2)或(3,﹣).
3.如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(-2,0),点C(8,0),与y轴交于点A.


(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;


(2)连接AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求N点的坐标;.


(3)连接OM,在

(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.


【答案】

(1)y=﹣x2+x+4;

(2)N(3,0);

(3)OM=AC.
4.如图甲,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.


(1)求该抛物线的解析式;


(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形。
若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;


(3)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).


【答案】

(1)y=x2﹣4x+3;

(2)(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);

(3)E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.
5.已知点在抛物线上.



(1)求抛物线的解析式;


(2)如图1,点的坐标为,直线交抛物线于另一点,过点作轴的垂线,垂足为,设抛物线与轴的正半轴交于点,连接,求证;


(3)如图2,直线分别交轴,轴于两点,点从点出发,沿射线方向匀速运动,速度为每秒个单位长度,同时点从原点出发,沿轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度,点是直线与抛物线的一个交点,当运动到t秒时,,直接写出t的值.

【答案】

(1)抛物线的解析式为:y=x2-x;

(2)证明见解析;

(3);.
6.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点是轴上的一点,且以为顶点的三角形与相似,求点的坐标;
(3)如图2,轴玮抛物线相交于点,点是直线下方抛物线上的动点,过点且与轴平行的直线与,分别交于点,,试探究当点运动到何处时,四边形的面积最大,求点的坐标及最大面积;
(4)若点为抛物线的顶点,点是该抛物线上的一点,在轴,轴上分别找点,,使四边形的周长最小,求出点,的坐标.


【答案】(1) y=x2﹣4x﹣5,(2) D的坐标为(0,1)或(0,);(3) 当t=时,四边形CHEF的面积最大为.(4) P(,0),Q(0,﹣).
7.如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.


(1)试求A,B,C的坐标;


(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°,得到△BAD.3
①求点D的坐标;
②判断四边形ADBC的形状,并说明理由;


(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使△BMP与△BAD相似。若存在,请直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.


【答案】(1) A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2);(2)①D(3,﹣2);②四边形ADBC是矩形;理由见解析,(3) 点P的坐标为:(1.5,1.25),(1.5,﹣1.25),(1.5,5),(1.5,﹣5).
8.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过点,.



(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;


(2)M(m,0)为x轴上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N,
①点在线段上运动,若以,,为顶点的三角形与相似,求点的坐标;
②点在轴上自由运动,若三个点,,中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称,,三点为“共谐点”.请直接写出使得,,三点成为“共谐点”的的值.

【答案】

(1)B(0,2),;

(2)①点M的坐标为(,0)或M(,0);②m=-1或m=或m=.
9.如图,已知二次函数的图象经过三点.


(1)求该二次函数的解析式;


(2)点是该二次函数图象上的一点,且满足(是坐标原点),求点的坐标;


(3)点是该二次函数图象上位于一象限上的一动点,连接分别交轴与点若的面积分别为求的最大值.


【答案】

(1);

(2)满足条件的点有:;

(3)当时,有最大值,最大值为:.
10.已知抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D.


(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;


(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标;


(3)在

(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少。

11.抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点,顶点为C,点P为抛物线上,且位于x轴下方.


(1)如图1,若P(1,-3)、B(4,0),
① 求该抛物线的解析式;
② 若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标;


(2) 如图2,已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点.当点P运动时,是否为定值。若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.


【答案】

(1)①y=x2-;②点D的坐标为(-1,-3)或(,);

(2)是定值,等于2
12.如图1,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,OB的长度为2m,以OB为边向上作等边三角形AOB,抛物线l:y=ax2+bx+c经过点O,A,B三点


(1)当m=2时,a=﹣,当m=3时,a=﹣;


(2)根据

(1)中的结果,猜想a与m的关系,并证明你的结论;


(3)如图2,在图1的基础上,作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点,PQ的长度为2n,当△APQ为等腰直角三角形时,a和n的关系式为 a=﹣;


(4)利用

(2)

(3)中的结论,求△AOB与△APQ的面积比.

13.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.



(1)求抛物线的表达式;


(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;


(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;


(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.
14.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,3),B(4,0)两点.


(1)求出抛物线的解析式;


(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形。若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;


(3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN,求出的值,并求出此时点M的坐标.

15.如图,抛物线与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0).与y轴交于点C(0,5).有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q,交直线AC于点M和N.交x轴于点E和F.           


(1)求抛物线的解析式;           


(2)当点M和N都在线段AC上时,连接MF,如果sin∠AMF=,求点Q的坐标;           


(3)在矩形的平移过程中,当以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求点M的坐标.       

16.如图,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出发向点O运动(运动到点O停止),运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F.


(1)求点A,点B的坐标;


(2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长;


(3)当四边形ADEF为菱形时,试判断△AFG与△AGB是否相似,并说明理由.


(4)是否存在t的值,使△AGF为直角三角形。若存在,求出这时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

17.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.


(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;


(2)若点H(1,y)在BC上,连接FH,求△FHB的面积;


(3)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°。


(4)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分。若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

18.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形,点A,B在x轴上,△MBC是边长为2的等边三角形,过点M作直线l与x轴垂直,交⊙M于点E,垂足为点M,且点D平分.。

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