人教版九年级数学上册练习:小专题(五) 二次函数与几何图形综合_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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人教版九年级数学上册练习:小专题(五) 二次函数与几何图形综合

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-11-14 00:12数学 165 ℃
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类型1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题
以函数图象为背景的几何题,图象背景往往就是一件衣服,基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式,从而根据题目条件求出更多点的坐标,进而求出线段长度、三角形面积.

1.(牡丹江中考)如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),请回答下列问题:

(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
2.(延庆县一模)二次函数y=-x2+mx+n的图象经过点A(-1,4),B(1,0),y=-x+b经过点B,且与二次函数y=-x2+mx+n交于点D.

(1)求二次函数的表达式;
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交BD于点M,求MN的最大值.
3.(磴口县校级模拟)如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.

(1)求此抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
类型2 二次函数图象与“线段之和最短”问题
如果两条线段有公共端点,那么直接构造“线段之和最短”问题解决,如果两条线段没有公共端点,那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点,然后应用“线段之和最短”问题解决.

4.(随州中考改编)如图,已知抛物线y=(x+2)(x-4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,M为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标;

(2)设动点N(-2,n),求使MN+BN的值最小时n的值.
5.(广元中考改编)如图,已知抛物线y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.
(1)若抛物线过点G(2,2),求实数m的值;

(2)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使AH+CH最小,并求出点H的坐标.
6.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.

(1)求抛物线的解析式.
(2)点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
7.(达州中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点,已知A(0,4),C(5,0),二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A,C两点.
(1)求该二次函数的表达式;

(2)F,G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接D,E,F,G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值.
参考答案
1.(1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4).∴BE=2,DE=4.∴BD==2. 
2.(1)∵二次函数y=-x2+mx+n的图象经过点A(-1,4),B(1,0),∴解得∴二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)∵y=-x+b经过点B,∴-×1+b=0.解得b=.∴y=-x+.设M(m,-m+),则N(m,-m2-2m+3),∴MN=-m2-2m+3-(-m+)=-m2-m+=-(m+)2+.∴MN的最大值为. 
3.(1)∵该抛物线过点C(0,-2),设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2.将A(4,0),B(1,0)代入,得解得∴此抛物线的解析式为y=-x2+x-2.
(2)设D点的横坐标为t(04.(1)令y=0,得(x+2)(x-4)=0,解得x1=-2,x2=4;令x=0,得y=-.∴A(-2,0)、B(4,0)、C(0,-).
(2)过点A(-2,0)作y轴的平行线l,则点B关于l的对称点B′(-8,0),又M(1,-),连接B′M与l的交点即为使MN+BN值最小的点.设直线B′M的解析式为y=kx+b,则解得∴y=-x-.∴当x=-2时,n=-. 
5.(1)抛物线过点G(2,2)时,-(2+2)(2-m)=2,解得m=4.
(2)∵m=4,∴y=-(x+2)(x-4).令y=0,-(x+2)(x-4)=0,解得x1=-2,x2=4.则A(-2,0),B(4,0).∴抛物线对称轴为直线l:x==1.令x=0,则y=2,所以C(0,2).∵B点与A点关于对称轴对称,∴连接BC,BC与直线l的交点便为所求点H.∵B(4,0),C(0,2),∴求得线段BC所在直线为y=-x+2.当x=1时,y=,∴H(1,). 
6.(1)由已知条件得A(-2,0),C(0,3),代入二次函数解析式,得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+3.
(2)连接AD,交对称轴于点P,则P为所求的点.设直线AD的解析式为y=kx+t.由已知得解得∴直线AD的解析式为y=x+1.∵对称轴为直线x=-=,将x=代入y=x+1,得y=.∴P(,). 
7.(1)将A(0,4)、C(5,0)代入二次函数y=x2+bx+c,得解得故二次函数的表达式为y=x2-x+4.
(2)延长EC至E′,使E′C=EC,延长DA至D′,使D′A=DA,连接D′E′,交x轴于F点,交y轴于G点,GD=GD′,EF=E′F,(DG+GF+EF+ED)最小=D′E′+DE,由E(5,2),D(4,4),得D′(-4,4),E(5,-2).由勾股定理,得DE==,D′E′==3,(DG+GF+EF+ED)最小=D′E′+DE=3+.。

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