数学人教版八年级上册图形变化在几何证明中的体现_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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数学人教版八年级上册图形变化在几何证明中的体现

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-11-14 00:16数学 590 ℃
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学校:南宁市三美学校
姓名:郑翔尹
各位评委老师,大家好,我是来自南宁市三美学校的郑翔尹,我今天说题的主题是:图形变化在几何证明中的体现。
接下来,我将按照以下7个步骤进行说题,

1、说背景;

2、说学情;

3、说题目;

4、说解法;

5、说变式;

6、说反思;

7、说教法。
一、 说背景
1. 题材背景
题目:如图,已知△ABC,以AB,AC为边向△ABC外做等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD.求证:BE=CD

本题我将在九年级以复习课的形式为学生进行讲解,但是本题可以在人教版八年级上册第83页轴对称中等边三角形的课后习题中找到原型题。原型题题目为:
如图,已知等边△ABD和等边△ACE,
求证:BE=CD
2. 知识背景:
本题涉及的知识点有:
全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等式性质等。
3. 方法背景:
根据学生以往的学习经验与知识储备,让学生充分分析已知条件,并通过观察图形找到隐含条件,进而解决问题。
4. 思想背景:  类比思想、转化思想等
二、 说学情
1. 学生特点:
本题的教学对象是九年级学生,他们的知识储备以及观察能力都有所发展,具有了从一定问题中抽象概括出一般规律的能力。

2. 解题困难:
由于部分学生对以往知识点掌握不太牢固,当几个知识点综合在一起出现时,不能熟练、快速的找到隐含条件。
3. 解题策略:
针对学生可以遇到的困难,我的解题策略是采取小组合作讨论的形式,以好带差,让更多的学生融入课堂。
4. 重难点:
重点:应用全等三角形证明线段相等
难点:寻找、发现证明三角形全等的条件
三、 说题目
1. 设计意图:
本题是全等三角形应用中具有代表性的一类问题,本题的解法是一法多用的经典之作,它综合了等边三角形的性质,运用SAS就能顺利证明线段相等。我希望通过本道题目及其变式,让学生能体会一法多用这一理念,进而培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。
2. 分析题目:
本题的已知条件比较明显,即△ABD和△ACE都为等边三角形;
待求结论为BE=CD.
本题属于中等偏易的几何证明题,要证明线段相等,学生第一反应就是通过证明两个三角形全等来证明对应线段相等, 学生对此类问题比较熟悉,有一定的把握。本题的难点也正在于如何找到并证明三角形全等。
而部分学生往往因为观察不够细致,导致无法找到证明三角形全等的条件。
四、 说解法
观察待求结论,要证明BE=CD,绝大部分学生都可以想到通过证明三角形全等来证明,通过观察图形,学生很容易发现,只需要证明△ABE≌△ADC即可,分析题目的已知条件可知,AD=AB,AE=AC,根据SAS这一判定方法,只需要找到∠DAC=∠BAE,而∠DAB和∠CAE为等边三角形的内角都等于60°,且∠BAC为公共角,根据等式性质,就可以达到目的。
到此,本题的逆向解题思路已经讲解完毕,再与学生一起将证明思路重头理顺,并让学生独立完成证明过程的书写,随后给出详细的证明答案。到此,本道例题的讲解完毕。

本题的证明关键在于,根据两个等边三角形找到证明全等三角形的条件,趁热打铁,我将抛出如下问题,如果将题目中的等边三角形都变成正方形,例题中的结论是否成立。即变式一。

五、 说变式
变式一: 
如图,已知△ABC,以AB,AC为边向△ABC外做正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD. 求证:BE=CD.

意图:将例题中已知条件的“往外做等边三角形”变成“往外做正方形”,让学生感受图形的变化对结论的影响。
通过将此题与例题类比可以知道,虽然条件不一样,但正方形和等边三角形都具有各边相等,各角相等的结论,所以证明CD=BE 的方法是相同的,即通过SAS证明△DAC≌△BAE即可.
得出变式一的结论以后,继续追问,如果改成正五边形、正六边形、甚至是正n边形呢。
结果是否仍然成立。
变式二:
如图,已知△ABC,以AB,AC为边向△ABC外做正五边形ABGFD
和正五边形ACHIE,连接BE,CD.求证:BE=CD.

变式三:
如图,已知△ABC,以AB,AC为边向△ABC外做正n边形ABGF…D和正n边形ACHI…E,连接BE,CD.求证:BE=CD.

为了解决这一问题,我将让学生以小组合作探究的形式进行讨论,并要求小组派一名代表上台展示讨论成果。通过小组讨论,学生很容易发现,虽然图形发生了变化,但是△ADC≌△ABE这一结论是不会改变,今后都可以依据这一结论进行求解。
解决完以上变式以后,我将引导学生继续思考如下问题,如果将例题中的等边三角形绕着点A按逆时针旋转,那么BE=CD是否成立。变式四:
如图,将例题中的等边三角形ACE绕着点A旋转,BE=CD是否成立。(用几何画板演示旋转的过程,让学生观察并发现在旋转的过程中,图形中不变的性质有哪些。



首先,当△ACE在△ABD外部旋转时,让学生观察并证明△ADC和△ABE全等是否成立。其次,当△ACE旋转到△ABD内部时,再观察结论是否成立。紧接着,将等边三角形替换成正方形,结论是否也成立。进而拓展到正n边形的情况,结论是否成立。
通过本道变式的学习,学生可以找到解决此类问题的通法,无论从外旋到内旋,从等边三角形到正方形还是到正n边形,虽然图像发生了变化,但是最基本的图形结构是不会改变的,也就是△ACD与△AEB全等是不会改变的,今后遇到此类问题都可以依据这一不变的图形结构进行求解。
六、 说反思
数学中的图形千变万化,并且应用广泛,而旋转变换是初中数学教材中的三种基本图形变换之一,旋转不仅变化丰富,而且具有很强的操作性、思考性和探索性,极受中考命题者的重视.以图形为载体、以旋转为手段考察学生的操作、想象、探索能力的中考题屡见不鲜。

由于旋转变换具有的动态性和不确定性,因此解题的难度较大。
解决问题的策略是:在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”的一般规律。通过探索、归纳、猜想,获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。
本次说题充分利用图形旋转的不变性,并且深度挖掘在旋转过程中△ABD△ACE的不变性,并加以运用去探索图形在旋转过程中的有关规律,同时也为我们在解这一类题型提供一种思路。

七、 说教法
复习课不是简单的重复,而是学生知识的升华和能力的提高,更是方法的提炼和总结、以及思维能力的培养和训练.讲解时要立足于“思”、“悟”、“透”,为了做到这点,我将通过多媒体的辅助,采用的教法为讨论法。让学生在互相交流讨论中学到更多的知识。

我的说题到此结束,谢谢各位评委。。

Tags: 数学 八年级 人教 变化 几何 图形 上册

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