(春季拔高课程)2017_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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(春季拔高课程)2017

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-11-14 00:21数学 331 ℃
春季,拔高,课程,2017,几何,问题,探究,—,线段,几何问题探究——线段的和、差及旋转相关问题
知识点
截长补短辅助线的运用、旋转的性质,相似三角形的性质与判定;相似三角形的综合;
教学目标
熟练掌握线段和差问题的证明方法;
教学重点
能够灵活的运用旋转的性质去证明图形中线段的关系;
教学难点
灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题;
知识讲解
考点1  旋转变换
旋转变换是指在同一平面内,将一个图形(含点、线、面)整体绕一固定点旋转一个定角,这样的图形变换叫做图形的旋转变换,简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转,旋转前后图形的形状、大小不变,只是位置发生改变;旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等,即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上; 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后,与初始的图形重合,这种图形就叫做旋转对称图形,这个定点就叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角。

特别地,中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合,这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识,是中考数学的必考内容。
考点2  两条线段之间的数量关系                                             
在数量关系的猜想中,证明两条线段相等的情况较多,有时也出现证明两条线段的倍数关系,如AB=2CD或AB=CD等。在证明两条线短相等的过程中,可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等,也可以证明两个三角形全等,根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时,利用构造基本图形模型证明,具体情况如下:
1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b;
2.利用等腰三角形证明a=b;
3.利用含30°角的直角三角形证明a=b等;
考点3  两条线段之间的位置关系
在位置关系猜想中,关键是如何证明,方法如下:
1.在证明垂直关系时,由垂直定义,即两条线段相交,所夹的角是90°,一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明;
2.在证明两条线段平行时,大多是根据平行线的判定方法进行证明即可;
总之证明位置关系,需要根据图形的性质,利用三角形全等进行证明,有时利用相似。在解答时,根据具体的题目条件,分解出基本图形,灵活掌握并选择方法证明。
考点4  三条线段之间的数量关系
当要探究三条线段a、b、c之间的数量关系时,解题步骤为:
1.将其中的两条线段的和(差)转化为另一条线段d的长,即通过证明三角形全等得出两条线段相等,三条线段之间的数量关系转化为两条线段之间的数量关系;
2.在特殊三角形中找到d与另一条线段之间的关系,当这两条线段在同一个特殊三角形中,通过特殊三角形的性质,得出这两条线段之间的数量关系;当变化后两条线段在同一四边形中,可以证明四边形为特殊四边形,通过特殊四边形的性质,得出这两条线段之间的数量关系;
3.结合1.2结论,直接写出三条线段之间的数量关系。
例题精析
考点一  线段和差问题
例1  在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB.


(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:AB+AD=AC.


(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系。写出你的猜想,并给予证明.


(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系。
写出你的猜想,并给予证明.

例2如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,E恰为BC的中点,tanB=2.


(1)求证:AD=AE;

(2)如图2,点P在线段BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF,求证:DF-EF= AF;

(3)请你在图3中画图探究:当P为线段EC上任意一点(P不与点E重合)时,作EF垂直直线DP,垂足为点F,连接AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系。
直接写出你的结论.

考点二  旋转相关问题
例3 如图

(1),在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC.


(1) 若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及的值.


(2) 将图

(1)中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰恰相好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原题中的其它条件不变,如图

(2),问题

(1)中的结论还成立吗。


(3) 若图

(1)中∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),将图

(1)中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中其它条件不变,请写出的值.


例4如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.


(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;


(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=a,CQ=时,P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示).


课程小结
本节课主要研究了线段的和差问题及旋转的相关问题,在遇到多条线段的和差问题时,我们可以首选截长补短的方法来研究,同样也可以根据题干中所给出的特殊条件借助辅助线来研究,而如若遇到旋转相关的问题,只需把握住旋转的性质便可。几何问题的探究,是一个长期积累的过程,注重几何知识的综合运用,积累基本型是重中之重。
例1
【规范解答】

(1)在四边形ABCD中,∵AC平分∠DAB,∠DAB=120°,∴∠CAB=∠CAD=60°.又∵∠B=∠D=90°,∴∠ACB=∠ACD=30°.∴AB=AD= AC,即AB+AD=AC.

(2)AB+AD=AC.证明如下:如图②,过C点分别作AD和AB延长线的垂线段,垂足分别为E、F.∵AC平分∠DAB,∴CE=CF.∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠CBF=180°,∴∠CBF=∠D.又∵∠CED=∠CFB=90°,∴△CED≌△CFB.∴ED=BF.∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF.∵AC为角平分线,∠DAB=120°,∴∠ECA=∠FCA=30°,∴AE=AF= AC,∴AE+AF=AC,∴AB+AD=AE+AF=AC.∴AB+AD=AC.


(3)AB+AD= AC.证明如下:如图③,过C点分别作AB和AD延长线的垂线段,垂足分别是E、F.
∵AC平分∠DAB,∵CE⊥AD,CF⊥AF,∴CE=CF. ∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠EDC=180°,∴∠ABC=∠EDC.又∵∠CED=∠CFB=90°.∴△CFB≌△CED.∴CB=CD.延长AB至G,使BG=AD,连接CG.∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBG=180°,∴∠CBG=∠ADC.∴△GBC≌△ADC.∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°.∴∠ACG=90°.∴AG= AC.∴AB+AD= AC.

【总结与反思】

(1)由AC平分∠DAB,∠DAB=120°,可得∠CAB=∠CAD=60°,又由∠B=∠D=90°,即可得∠ACB=∠ACD=30°,根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,即可得AB+AD=AC;

(2)首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段,垂足分别为E、F,由AC平分∠DAB,可得CE=CF,又由∠B与∠D互补,可证得△CED≌△CFB,则可得AD+AB=AE+AF,又由AE+AF=AC,则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC;

(3)首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段,垂足分别是E、F,与

(2)同理可得△CEB≌△CFD,则可得∠G=∠DAC=∠CAB=45°,即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD= AC
例2

【规范解答】

(1)证明:∵tanB=2,∴AE=2BE;∵E是BC中点,∴BC=2BE,即AE=BC;又∵四边形ABCD是平行四边形,则AD=BC=AE;

(2)证明:作AG⊥AF,交DP于G;(如图2)∵AD∥BC,∴∠ADG=∠DPC;∵∠AEP=∠EFP=90°,∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90°,即∠ADG=∠AEF=∠FPE;又∵AE=AD,∠FAE=∠GAD=90°-∠EAG,∴△AFE≌△AGD,∴AF=AG,即△AFG是等腰直角三角形,且EF=DG;∴FG= AF,且DF=DG+GF=EF+FG,故DF-EF= AF;


(3)解:如图3,
①当EP≤2BC时,DF+EF= AF,解法同

(2).
②当EP>2BC时,EF-DF= AF。-

【总结与反思】


(1)首先根据∠B的正切值知:AE=2BE,而E是BC的中点,结合平行四边形的对边相等即可得证.

(2)此题要通过构造全等三角形来求解;作GA⊥AF,交BD于G,通过证△AFE≌△AGD,来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD,由此得证.

(3)辅助线作法和解法同

(2),只不过结论有所不同而已.
例3
【规范解答】

(1)延长线段GP交线段DC于点H,
∵CD∥GF,∠PDH=∠PFG,∠DHP=∠PGF,DP=PF,∴△DPH≌△FGP,∴PH=PG,DH=GF,
∵CD=BC,GF=GB=DH,∴CH=CG,∴CP⊥HG,∠ABC=60°,∴∠DCG=120°,
∴∠PCG=60°,∴PG:PC=tan60°=
∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC,PG:PC=;



(2)猜想:

(1)中的结论没有发生变化
证明:如图2,延长GP交AD于点H,连接CH,∵P是线段DF的中点,∴FP=DP,
∵AD∥GF,∴∠HDP=∠GFP,∵∠GPF=∠HPD,∴△GFP≌△HDP(ASA),∴GP=HP,GF=HD,
∵四边形ABCD是菱形,∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°,
∵∠ABC=∠BEF=60°,菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,
∴∠GBF=60°,∴∠HDC=∠GBF,∵四边形BEFG是菱形,∴GF=GB,∴HD=GB,∴△HDC≌△PGF,∴∠HCD=120°,
∵CH=GB,PH=PG,∴PG⊥PC,∠GCP=∠HCP=60°,∴PG:PC=;


(3)∵∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),∴∠PCG=90°-α,


(1)可知:PG:PC=tan(90°-α),∴PG:PC=tan(90°-α).

【总结与反思】倍长中线构造全等,注意旋转后的图形边的不变性及角度的变化。。

Tags: 拔高 春季 探究 课程 2017 线段 问题 几何

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