2018-2019学年九年级数学下册第1章二次函数专题训练一二次函数与几何小综合练习新版湘教版_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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2018-2019学年九年级数学下册第1章二次函数专题训练一二次函数与几何小综合练习新版湘教版

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2018-2019,学年,九年级,数学,下册,第,1章,二次,专题训练(一) 二次函数与几何小综合
一、二次函数与三角形的结合
1.如图1-ZT-1,已知抛物线y=x2-x-3与x轴的交点为A,D(点A在点D的右侧),与y轴的交点为C.
(1)直接写出A,D,C三点的坐标;
(2)若点M(点M不与点C重合)在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标.

图1-ZT-1
2.如图1-ZT-2所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点(-1,8)并与x轴交于A,B两点,且点B的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若抛物线与y轴交于点C,顶点为P,求△CPB的面积.

图1-ZT-2
3.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数y=-x2+(k-1)x+4的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且S△OAB=6.
(1)求点A与点B的坐标;
(2)求此二次函数的表达式;
(3)如果点P在x轴上,且△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.
二、二次函数与平行四边形的结合
4.如图1-ZT-3,四边形ABCD是平行四边形,过点A,C,D作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),且点A,B,D的坐标分别为(-2,0),(3,0),(0,4).求抛物线的函数表达式.

图1-ZT-3
三、二次函数与矩形、菱形、正方形的结合
5.如图1-ZT-4所示,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,抛物线y=-x2+bx+c经过B,C两点,D为抛物线的顶点,连接AC,BD,CD.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)求此抛物线的顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.

图1-ZT-4
6.2018·金华如图1-ZT-5,抛物线y=ax2+bx(a<0)过点E(10,0),矩形ABCD的AB边在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值。最大值是多少。
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有G,H两个交点,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.

图1-ZT-5
四、二次函数与平移的结合
7.如图1-ZT-6①,在平面直角坐标系中有等腰直角三角形ABO,AB=OB=8,∠ABO=90°,OC与y轴正半轴所夹的角为45°,射线OC以每秒2个单位的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动.设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)当x=3时,射线OC平行移动到O′C′,与OA相交于点G,如图1-ZT-6②所示,求经过G,O,B三点的抛物线的函数表达式.
(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在△POB的面积S=8的情况。若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图1-ZT-6
教师详解详析
1.解:(1)A(4,0),D(-2,0),C(0,-3).
(2)∵S△CAD=AD·OC,S△MAD=AD·|yM|,
∴当S△CAD=S△MAD时,
AD·OC=AD·|yM|,
即×6×3=×6×|yM|,
解得yM=±3,即x2-x-3=±3,
解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去),x3=1+,x4=1-,
∴点M的坐标为(2,-3)或(1+,3)或(1-,3).
2.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点(-1,8)与点B(3,0),∴解得∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴P(2,-1).过点P作PH⊥y轴于点H,过点B作BM∥y轴交直线PH于点M,过点C作CN⊥y轴交直线BM于点N,如图所示.

S△CPB=S矩形CHMN-S△CHP-S△PMB-S△CNB=3×4-×2×4-×1×1-×3×3=3,即△CPB的面积为3.
3.解:(1)由表达式,可知点A的坐标为(0,4).
∵S△OAB=OB·OA=×4·OB=6,
∴OB=3.∴点B的坐标为(-3,0).
(2)把B(-3,0)代入y=-x2+(k-1)x+4,得-(-3)2+(k-1)×(-3)+4=0.
解得k-1=-.
∴所求二次函数的表达式为y=-x2-x+4.
(3)∵△ABP是等腰三角形,∴有三种情况:
①当AB=AP时,点P的坐标为(3,0);
②当AB=BP时,点P的坐标为(2,0)或(-8,0);
③当AP=BP时,设点P的坐标为(x,0).根据题意,得=,
解得x=,∴点P的坐标为(,0).
综上所述,点P的坐标为(3,0),(2,0),(-8,0)或(,0).
4.解:由已知,得点C(5,4).
把A(-2,0),D(0,4),C(5,4)代入抛物线的函数表达式y=ax2+bx+c,
得解得
所以抛物线的函数表达式为y=-x2+x+4.
5.解:(1)由已知,得C(0,4),B(4,4),把点B与点C的坐标代入y=-x2+bx+c,得
解得
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+4.
(2)∵y=-x2+2x+4=-(x-2)2+6,
∴抛物线的顶点D的坐标为(2,6),则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12.
6.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10).
∵当t=2时,AD=4,
∴点D的坐标是(2,4).
∴4=a×2×(2-10),解得a=-.
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x.
(2)由抛物线的对称性,得BE=OA=t,
∴AB=10-2t.当x=t时,y=-t2+t.
∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2[(10-2t)+(-t2+t)]=-t2+t+20=-(t-1)2+.
∵-<0,
∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值是.
(3)当t=2时,点A,B,C,D的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4).
∴矩形ABCD的对角线交于点P(5,2).当平移后的抛物线过点A时,点H的坐标为(4,4),此时GH不能将矩形的面积平分;当平移后的抛物线过点C时,点G的坐标为(6,0),此时GH也不能将矩形的面积平分.∴当G,H中有一点落在线段AD或BC上时,直线GH不能将矩形的面积平分.∴当点G,H分别落在线段AB,DC上,且直线GH过点P时,能平分矩形ABCD的面积.∵AB∥CD,∴线段OD平移后得到线段GH.∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P.在△OBD中,PQ是中位线,∴PQ=OB=4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位.

7.解:(1)由题意,可知射线OC扫过Rt△ABO的部分为等腰直角三角形,斜边长为2x,
则斜边上的高为×2x=x,
∴y=×2x×x=x2(0≤x≤4).
(2)过点G作GD⊥OB,垂足为D,则在等腰直角三角形OO′G中,GD也是斜边OO′上的中线.

∵OO′=3×2=6,
∴GD=OD=OO′=3,
∴点O′,G的坐标分别为(6,0),(3,3).
由抛物线经过点O(0,0),B(8,0),可设其表达式为y=ax(x-8).
把G(3,3)代入表达式,得a×3×(3-8)=3,
解得a=-.
∴抛物线的函数表达式为y=-x(x-8),
即y=-x2+x.
(3)存在.设符合条件的点P的坐标为(x,y),则S=×8·=8,
解得y=±2.
当y=2时,由-x2+x=2,
解得x=4±;
当y=-2时,由-x2+x=-2,
解得x=4±.
∴符合条件的点P的坐标为(4+,2)或(4-,2)或(4+,-2)或(4-,-2).。

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