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九年级数学圆知识点总结

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-11-14 00:43数学 828 ℃
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如图:有五个元素,“知二可推三”;需记忆其中四个定理,
即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.       
几何表达式举例:
∵ CD过圆心
∵CD⊥AB
2.平行线夹弧定理:
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
几何表达式举例:

3.“角、弦、弧、距”定理:(同圆或等圆中)
“等角对等弦”; “等弦对等角”;
“等角对等弧”; “等弧对等角”;
“等弧对等弦”;“等弦对等(优,劣)弧”;
“等弦对等弦心距”;“等弦心距对等弦”.
几何表达式举例:
(1) ∵∠AOB=∠COD
∴ AB = CD
(2) ∵ AB = CD
∴∠AOB=∠COD
4.圆周角定理及推论:

(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;

(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图)

(3)“等弧对等角”“等角对等弧”;

(4)“直径对直角”“直角对直径”;(如图)

(5)如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图)

(1)     
(2)
(3)         
(4)
几何表达式举例:

(1) ∵∠ACB=∠AOB
∴  ……………

(2) ∵ AB是直径
∴ ∠ACB=90°

(3) ∵ ∠ACB=90°
∴ AB是直径

(4) ∵ CD=AD=BD
∴ ΔABC是RtΔ
5.圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外
角都等于它的内对角.
几何表达式举例:
∵ ABCD是圆内接四边形
∴  ∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180°
6.切线的判定与性质定理:
如图:有三个元素,“知二可推一”;需记忆其中四个定理.

(1)经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线;

(2)圆的切线垂直于经过切点的半径;

(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;

(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
几何表达式举例:

(1) ∵OC是半径∵OC⊥AB
∴AB是切线

(2) ∵OC是半径
∵AB是切线
∴OC⊥AB

(3)  ……………
7.切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,
它们的切线长相等;圆心和这一
点的连线平分两条切线的夹角.
几何表达式举例:
∵ PA、PB是切线
∴ PA=PB
∵PO过圆心
∴∠APO =∠BPO
8.弦切角定理及其推论:

(1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角;

(2)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等;

(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.(如图)
             
几何表达式举例:

(1)∵BD是切线,BC是弦
∴∠CBD =∠CAB


(2)
∵ ED,BC是切线
∴ ∠CBA =∠DEF
9.相交弦定理及其推论:

(1)圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等;

(2)如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.

几何表达式举例:

(1) ∵PA·PB=PC·PD
∴………

(2) ∵AB是直径
∵PC⊥AB
∴PC2=PA·PB
10.切割线定理及其推论:

(1)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;

(2)从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.


几何表达式举例:

(1) ∵PC是切线,
PB是割线
∴PC2=PA·PB

(2) ∵PB、PD是割线
∴PA·PB=PC·PD
11.关于两圆的性质定理:

(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;

(2)如果两圆相切,那么切点一定在连心线上.



(1)                 
(2)
几何表达式举例:

(1) ∵O1,O2是圆心
∴O1O2垂直平分AB

(2) ∵⊙1 、⊙2相切
∴O1 、A、O2三点一线
12.正多边形的有关计算:

(1)中心角n ,半径RN , 边心距rn , 
边长an ,内角n , 边数n;

(2)有关计算在RtΔAOC中进行.
公式举例:
(1)  n  =;
(2) 
几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一  基本概念:圆的几何定义和集合定义、  弦、  弦心距、 弧、  等弧、  弓形、弓形高
三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、  弦
切角、  圆的切线、  圆的割线、  两圆的内公切线、  两圆的外公切线、  两圆的内(外)
公切线长、  正多边形、  正多边形的中心、  正多边形的半径、  正多边形的边心距、  正
多边形的中心角.
二  定理:
1.不在一直线上的三个点确定一个圆.
2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.
三  公式:
1.有关的计算:
(1)圆的周长C=2πR;
(2)弧长L=;
(3)圆的面积S=πR2.

(4)扇形面积S扇形 =;
(5)弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.(如图)
2.圆柱与圆锥的侧面展开图:

(1)圆柱的侧面积:S圆柱侧 =2πrh;  (r:底面半径;h:圆柱高)

(2)圆锥的侧面积:S圆锥侧 =.  (L=2πr,R是圆锥母线长;r是底面半径)
四  常识:
1. 圆是轴对称和中心对称图形.
2. 圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3. 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心;
三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.
4. 直线与圆的位置关系:(其中d表示圆心到直线的距离;其中r表示圆的半径)
直线与圆相交 d<r ;  直线与圆相切 d=r ;  直线与圆相离 d>r.
5. 圆与圆的位置关系:(其中d表示圆心到圆心的距离,其中R、r表示两个圆的半径且R≥r)
两圆外离    d>R+r;  两圆外切    d=R+r; 两圆相交    R-r<d<R+r;
两圆内切    d=R-r;  两圆内含    d<R-r.
6.证直线与圆相切,常利用:“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.
7.关于圆的常见辅助线:

已知弦构造弦心距.

已知弦构造RtΔ.

已知直径构造直角.

已知切线连半径,出垂直.

圆外角转化为圆周角.

圆内角转化为圆周角.

构造垂径定理.

构造相似形.

两圆内切,构造外公切线与垂直.

两圆内切,构造外公切线与平行.

两圆外切,构造内公切线与垂直.

两圆外切,构造内公切线与平行.

两圆同心,作弦心距,可证得AC=DB.


两圆相交构造公共弦,连结圆心构造中垂线.

PA、PB是切线,构造双垂图形和全等.

相交弦出相似.

一切一割出相似, 并且构造弦切角.

两割出相似,并且构造圆周角.

双垂出相似,并且构造直角.

规则图形折叠出一对全等,一对相似.

圆的外切四边形对边和相等.

若AD ∥BC都是切线,连结OA、OB可证∠AOB=180°,即A、O、B三点一线.

等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形.

RtΔABC的内切圆半径:r=.

补全半圆.


AB=.

AB=.

PC过圆心,PA是切线,构造
双垂、RtΔ.

O是圆心,等弧出平行和相似.

作AN⊥BC,可证出:
.。

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