二元一次方程组应用题经典题_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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二元一次方程组应用题经典题

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-11-14 00:53数学 644 ℃
二元,一次,方程组,应用题,经典,题,实际问题,实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一:列方程组解应用题的基本思想  列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系. 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:(1)方程两边表示的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.知识点二:列方程组解应用题中常用的基本等量关系  1.行程问题: (1)追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。这类问题比较直观,画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程; ;;  (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和=总路程。  (3)航行问题:①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;        ②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;        ③顺水速度-逆水速度=2×水速。
  注意:飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。  2.工程问题:工作效率×工作时间=工作量.  3.商品销售利润问题:  (1)利润=售价-成本(进价);(2);(3)利润=成本(进价)×利润率;
(4)标价=成本(进价)×(1+利润率);(5)实际售价=标价×打折率;  注意:“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)  4.储蓄问题:  (1)基本概念    ①本金:顾客存入银行的钱叫做本金。 ②利息:银行付给顾客的酬金叫做利息。     ③本息和:本金与利息的和叫做本息和。
④期数:存入银行的时间叫做期数。     ⑤利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税:利息的税款叫做利息税。
  (2)基本关系式    ①利息=本金×利率×期数     ②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× (1+利率×期数)    ③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率。    ④税后利息=利息× (1-利息税率) ⑤年利率=月利率×12 ⑥。  注意:免税利息=利息   5.配套问题:  解这类问题的基本等量关系是:总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。  6.增长率问题:  解这类问题的基本等量关系式是:原量×(1+增长率)=增长后的量;                 原量×(1-减少率)=减少后的量.  7.和差倍分问题:  解这类问题的基本等量关系是:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量.  8.数字问题:  解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数=十位数字10+个位数字  9.浓度问题:溶液质量×浓度=溶质质量.  10.几何问题:解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式  11.年龄问题:解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的  12.优化方案问题:  在解决问题时,常常需合理安排。
需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案。  注意:方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
知识点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤  利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤:  1.审题:弄清题意及题目中的数量关系;2.设未知数:可直接设元,也可间接设元;  3.找出题目中的等量关系;4.列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组;5.解所列的方程组,并检验解的正确性;6.写出答案.  要点诠释:  (1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得 的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;  (2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;  (3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.   (4)列方程组解应用题应注意的问题   ①弄清各种题型中基本量之间的关系; ②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息; ③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时,不要带单位;④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆; ⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件; ⑥列方程组解应用题一定要注意检验。 类型一:列二元一次方程组解决——行程问题  1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇. 相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米。
  思路点拨:画直线型示意图理解题意:      (1)这里有两个未知数:①汽车的行程;②拖拉机的行程.   (2)有两个等量关系:    ①相向而行:汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程=160千米;    ②同向而行:汽车行驶小时的路程=拖拉机行驶小时的路程.  解:设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米.    根据题意,列方程组     解这个方程组,得:    .  答:汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米.  总结升华:根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。 
【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米。 

【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。
类型二:列二元一次方程组解决——工程问题2.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元。(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少。 思路点拨:本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义:若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;第二层含义:若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元。
设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,由第一层含义可得方程8(x+y)=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.解:(1)设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,依题意得:解得答:甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元。(2)单独请甲组做,需付款300×12=3600元,单独请乙组做,需付款24×140=3360元,故请乙组单独做费用最少。答:请乙组单独做费用最少。总结升华:工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司。请你说明理由.
类型三:列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3.有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元。 思路点拨:做此题的关键要知道:利润=进价×利润率解:甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,由题意得:,解得:答:两件商品的进价分别为600元和400元。

【变式1】(2011湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩。

【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:

A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
(注:获利 = 售价 — 进价)求该商场购进A、B两种商品各多少件;
类型四:列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱。
(利息所得税=利息金额×20%,教育储蓄没有利息所得税)思路点拨: 设教育储蓄存了x元,一年定期存了y元,我们可以根据题意可列出表格:解:设存一年教育储蓄的钱为x元,存一年定期存款的钱为y元,则列方程:,解得:答:存教育储蓄的钱为1500元,存一年定期的钱为500元. 总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几。(注:公民应缴利息所得税=利息金额×20%)

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元。
类型五:列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5.某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套。 思路点拨:本题的第一个相等关系比较容易得出:衣身、衣袖所用布料的和为132米;第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意:别把2倍的关系写反了).解:设用米布料做衣身,用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,根据题意,得:答:用60米布料做衣身,用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华:生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.
【变式1】现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子。

【变式2】某工厂有工人60人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。



【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌腿300条。现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌。能配多少张方桌。

类型六:列二元一次方程组解决——增长率问题6. 某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元。 思路点拨:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有

总产值(万元)
总支出(万元)
利润(万元)
去年
x
y
200
今年
120%x
90%y
780

根据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量,可以列出两个等式。解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,根据题意得:,解之得:答:去年的总产值为2000万元,总支出为1800万元总结升华:当题的条件较多时,可以借助图表或图形进行分析。

【变式1】若条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元。

【变式2】某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。
类型七:列二元一次方程组解决——和差倍分问题7.(2011年北京丰台区中考一摸试题)“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍,恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶。
思路点拨:找出已知量和未知量,根据题意知未知量有两个,所以列两个方程,根据计划前后,倍数关系由已知量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组。
解:设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶,由题意得:, 解得: 所以:1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6答:“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶.
【变式1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议.号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时,旨在通过一个人人可为的活动,让全球民众共同携手关注气候变化,倡导低碳生活.中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动,且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个,问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动.。

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