初中应用题的解题技巧_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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初中应用题的解题技巧

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2019-11-14 01:26数学 662 ℃
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教学目标:应用问题是中学数学的重要内容.它与现实生活有一定的联系,它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系,形成数学问题.应用问题涉及较多的知识面,要求学生灵活应用所学知识,在具体问题中,从量的关系分析入手,设定未知数,发现等量关系列出方程,获得方程的解,并代入原问题进行验证.这一系列的解题程序,要求对问题要深入的理解和分析,并进行严密的推理,因此对发展创造性思维有重要意义.
重点:解应用问题的技能和技巧.
1.直接设未知元
在全面透彻地理解问题的基础上,根据题中求什么就设什么是未知数,或要求几个量,可直接设出其中一个为未知数,这种设未知数的方法叫作直接设未知元法.
例1 某校初中一年级举行数学竞赛,参加的人数是未参加人数的3倍,如果该年级学生减少6人,未参加的学生增加6人,那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1.求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数.
分析 本例中要求三个量,即参赛人数、未参赛人数,以及初中一年级人数.由已知条件易知,可直接设未参赛人数为x,那么参赛人数便是3x.于是全年级共有(x+3x)人.
由已知,全年级人数减少6人,即(x+3x)-6, ①而未参加人数增加6人时,则参加人数是未参加人数的2倍,从而总人数为
(x+6)+2(x+6).②
由①,②自然可列出方程.
解 设未参加的学生有x人,则根据分析,①,②两式应该相等,所以有方程
(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6,
所以
x+6+2x+12=4x-6,
所以 3x+18=4x-6,
所以 x=24(人).
所以未参加竞赛的学生有24人,参加竞赛的小学生有
3×24=72(人).
全年级有学生
4×24=96(人).
说明 本例若按所求量次序设参加人数为x人,则未参加人数为 
例2 一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件,若他每天多做做多少个零件。
定期是多少天。
分析 若直接设这个工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做   
另一方面,如果他每天少做5个,则要增加3天工期,因此,

显然,将此两式联立,解出x,y即可.
解 设工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做x/y个,依分析有方程组

整理得

②×2+①得

将x=50y代入②得
y=27, x=50y=1350,

答 工人要做1350个零件,定期为27天.
例3 一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的旅客人数相等.起初每辆汽车乘了22人,结果剩下1人未上车;如果有一辆汽车空着开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车。有多少名旅客。
解 设起初有汽车m辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘旅客为n人.由于m≥2,n≤32,依题意有
22m+1=n(m-1).
所以

因为n为自然数,所以23/m-1为整数,因此
m-1=1,或m-1=23,
即 m=2或m=24.
当 m=2时,n=45(不合题意,舍去);当m=24时,n=23(符合题意).
所以旅客人数为:
n(m-1)=23×(24-1)=529(人).
答 起初有汽车24辆,有乘客529人.
注意 解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性,并根据情况做具体讨论.
2.间接设元
如果对某些题目直接设元不易求解,便可将并不是直接要求的某个量设为未知数,从而使得问题变得容易解答,我们称这种设未知数的方法为间接设元法.
例4 若进货价降低8%,而售出价不变,那么利润可由目前的p%增加到(p+10)%,求p.
分析 本题若直接设未知元为x,则不易列方程,为此,可间接设元,设进货价为x,则下降后的进货价为0.92x.由于售出价不变,它可用以下方程式表示:
x(1+p%)=0.92x[1+(10+p)%].
解 设原进货价为x,则下降8%后的进货价为0.92x.根据题意售货价不变,故有以下方程
x(1+0.01p)=0.92x[1+0.01(p+10)],
约去x得
1+0.01p=0.92[1+0.01(p+10)],
所以
1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092,
所以
(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1,
即 0.0008p=0.012,
所以 p=15.
答 原利润为15%.
例5 甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步,它们分别从直径AB两端同时相向起跑.第一次相遇时离A点100米,第二次相遇时离B点60米,求圆形跑道的总长.
分析与解 如图1-76,设圆形跑道总长为2S,又设甲乙的速度分别为V,V',再设第一次在C点相遇,则第二次相遇有以下两种情况:

(1)甲乙第二次相遇在B点下方D处,此时有方程组

化简得

由③,④得

解此方程得
S=0(舍去),S=240.
所以2S=480米.经检验是方程的解.
(2)若甲乙第二次相遇在B的上方D'处,则有方程组

解此方程组得
S=0(舍去),S=360.
所以2S=720米.经检验也是方程的解.
这样,两人可能在D点处相遇,也可能在D'点处相遇,故圆形跑道总长为480米或720米.
3.设辅助元
有时为了解题方便,可设某些量为辅助量,参与列方程和运算,最后把这些辅助量约去,得出要求的值.
例6 从两个重量分别为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克。
分析与解 设切下的重量是x千克,并设重m千克的铜合金中含铜的百分数为q1,重n千克的铜合金中含铜的百分数为q2,则切下的两块中分别含铜xq1和xq2,而混合熔炼后所得两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]和[xq2+(m-x)q1].故依题意有方程

解此方程得

答 切下的重量为mn/m+n(千克).
例7 甲乙两邮递员分别从A,B两地同时以匀速相向而行,甲比乙多走了18千米(km),相遇后甲走4.5小时到达B地,乙走8小时到A地,求A,B两地的距离.
解 设甲速为a千米/小时,乙速为b千米/小时,A,B两地的距离为2S,依题意有



所以

所以 S-9/S+9=3/4,
所以 S=63(千米), 2S=126(千米).
答 A,B两地相距126千米.
练习二十一
1.已知甲、乙、丙三人.甲单独做一件工作的时间是乙丙两人合作做这件工作所用时间的a倍,乙独做这件工作是甲丙两人合作做这件工作的b倍.求丙单独做这件工作是甲乙两人合作做这件工作所需时间的几倍。

2.有甲乙两容量均为20升(L)的容器,甲容器内装满纯酒精,而乙为空容器.自甲内倒出若干酒精于乙内,再将乙其余部分注满水,将此混合溶液注满甲容器,最后自甲容器回注入乙容器62/3升,则两容器内所含纯酒精量相等,问第一次自甲容器倒出多少酒精。
3.某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,再以每小时15千米的速度走平路到B地,共用了55分钟.回来时他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用了11/2小时,求地面上A,B两地相距多少千米。

4.有一块长方形的场地,长比宽多4米,周围有一条宽2米的道路环绕着,已知道路的面积和这块土地的面积相等.求这块场地的周长是多少米。
5.一个四位数是奇数,它的千位数字小于其他各位数字,十位数字等于千位数字和个位数字之和的2倍,求这个四位数.。

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