甘肃省兰州市第一中学2020届高三上学期期中考试数学(理) 兰州高考试题_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」

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甘肃省兰州市第一中学2020届高三上学期期中考试数学(理) 兰州高考试题

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兰州高考试题

兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题 高三数学(理科) 命题教师:闫沛莲 审题教师:石磊 说明:本套试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合Axx12,B{yZ1y3},则AB ( ) A.0,1,2 2.设zB.{-1,0,1,2} C. D.1,0,1 1i2i,则 |z| ( ) 1i1A.2 B. C.2 2cos2sin213.已知2sincos,则= ( ) cos23A. B.3 C.6 24.下列说法不正确的是( ) D.1 D.12 A.命题“若x23x20,则x1”的逆否命题为“若x1,则x23x20” B.“x1”是“|x|1”的充分不必要条件 C.若pq为假命题,则p,q均为假命题 2D.若命题:p:“x0R,使得x0x010”,则p:“xR,均有x2x10” 15.已知平面向量a,b满足a,b1,且2abab,则a与b的夹角为( ) 325 D. 63196.设a0,b0,若2是2a与2b 的等比中项,则的最小值为( ) abA. 6B. 3C.A.16 B.8 C.4 D.2 x2y2227.若双曲线C:221 (a0,b0)的一条渐近线被圆(x2)y4所截得的弦长ab

为2,则双 曲线C的离心率为 ( ) A.2 B. C.22 D.3 8.某程序框图如图所示,则输出的结果S等于( ) A.43 B.28 C.16 D.7 e9.函数y的图象可能是( ) 4xx12A. B. C. D. 10.我国古代数学名著记载:“刍甍者,下有袤有《九章算术》广,而上有袤无丈.刍,草也;甍,屋盖也.”翻译为:“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如上图,为一刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形.则它的体积为( ) A.160256 B.160 C. D.64 33111.若函数fxxsin2x asinx在,上单调递增,则实数a的取值范围是4( ) 11A., 221 B.1, 2 C.1,1 1 D.1, 222x1,x212.已知函数f(x)1,若函数Fxafxx有6个零点,则实数a的3f(x2),x2取值范围为( ) A.927a 22 B.9189a 22 C.2a9 2 D.45189a 22

第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.甲、乙两校各有3名教师报名支教.若从这6名教师中任选2名,选出的2名教师来自同一学校的概率为____ ___. 14.直线l与抛物线y28x交于A,B两点,且l经过抛物线的焦点F,已知A(8,8),则线段AB的中点到准线的距离为__________. 315.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(3x)f(x)0,且当x,0时,2f(x)log2(2x6), 则f(2020)___ ____. 16.已知向量a,b,c满足a4,b22,a,b值为___ __. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,第
22、23 为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(本题满分12分)已知函数fxAsin(x)(A0,0,对称轴的距离是4,ca·cb1,则ca的最大的图象的相邻两条)2,当x时fx取得最大值2. 26
(1)求函数f(x)的解析式; 6
(2)若函数g(x)f(x)的零点为x0,求cos2x0. 53*18.(本题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为SnnN,2S2,S3,4S4成等差数列,且 a22a3a41. 16
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn(n2)log2n,求数列a1的前n项和Tn. bn

19.(本题满分12分)如图,在ABC中,B3,BC23,点D在 边AB上,ADDC,DEAC,E为垂足.
(1)若BCD的面积为
(2)若DE33,求CD的长; 232,求角A的大小. 2ex20.(本题满分12分)设函数fxaxlnx(a为常数). x
(1)当a1时,求曲线yf(x)在x1处的切线方程;
(2)若函数fx在0,1内存在唯一极值点xx0,求实数a的取值范围,并判断xx0 是fx在0,1内的极大值点还是极小值点. 21.(本题满分12分)已知函数fxaxlnxa1(a为实数常数)
(1)当a0时,求函数fx在1,上的单调区间;
(2)当x1时,fxax成立,求证:a (二)选考题:共 10 分.请考生在第
22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,满足OMOP16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; 21. e2
(2)设点A的极坐标为2,,点B在曲线C2上,求ABO面积的最大值. 323.(本题满分10分)(选修4-5:不等式选讲) 已知函数f(x)2x14x5的最小值为M.
(1)求M; 222
(2)已知实数a,b,c满足abc2M,求(a1)(b2)(c3)的最小值.

兰州一中2019-2020-1学期高三年级期中考试试题 数学(理科)答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 题号 答案 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 1 A 2 D 3 B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 B 9 C 10 A 11 A 12 D 225 14. 15. 2 16. 54三、解答题:本大题共6小题,共70分. 13. 21 17.(本题满分12分)已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||2)的图象的相邻两条对称轴的距离是,当x时取得最大值2. 62
(1)求函数f(x)的解析式; 6
(2)若函数g(x)f(x)的零点为x0,求cos2x0. 53【解析】
(1)由题意知,振幅A=2,周期T=222,∴2,∴f(x)2sin2x. 将点,2代入得:2sin2sin1,又||,故. 26633∴f(x)2sin2x. ……………………6分 6666
(2)由函数g(x)f(x)的零点为x0知:x0是方程f(x)的根,故f(x0), 555得sin(2x0+∴cos3)=,又(2x0+)+(-2x0)=, 6635232x0cos2x0sin2x0. ……………………12分 66532*18.(本题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和为SnnN,2S2,S3,4S4成等差数列,且a22a3a41. 16
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn(n2)log2n,求数列a1的前n项和Tn. bn

【解析】
(1)设等比数列{an}的公比为q, 1由2S2,S3,4S4成等差数列知,2S32S24S4,所以2a4a3,即q. 211123又a22a3a4,所以a1q2a1qa1q,所以a1, 216161所以等比数列{an}的通项公式an,nN*. ……………………6分 2111111()n
(2)由
(1)知b(n2)log2n(n2) ,所以 bnn(n2)2nn2n2n1所以数列的前n 项和: bnTn11111112324351111 n1n1nn22n3111131 . ……………………12分 22n1n242(n1)(n2)19.(本题满分12分)如图,在ABC中,B3,BC23,点D在边AB上,ADDC,DEAC,E为垂足.
(1)若BCD的面积为
(2)若DE33,求CD的长; 232,求角A的大小. 2133 又BCBDsinB22【解析】
(1)由已知得SBCDBC23,sinB2223 解得 BD3, 在BCD中,由余弦定理得 2 23CD BCBD2BCBDcosB 322223319 2∴CD3 即CD的长为3. ……………………6分
(2)由已知得,E为AC中点,∴AC2AE, 23AC3AEsinA在ABC中,由正弦定理得sinA,所以, 322DEsinA32tanA又,所以AEsinADEcosAcosA, AEcosA2

∴3232,又0A,∴A . ………………12分 cosA,∴cosA4222ex20.(本题满分12分)设函数fxaxlnx(a为常数). x
(1)当a1时,求曲线yf(x)在x1处的切线方程;
(2)若函数fx在0,1内存在唯一极值点xx0,求实数a的取值范围,并判断xx0是fx在0,1内的极大值点还是极小值点. exx1ex1【解析】
(1)当a1时,fxxlnx,fx1x0, x2xx所求切线的斜率f(1)0,又f(1)e1. 所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为y(e1). ……………………5分 xexx11x1eax
(2)fx. a122xxx又x0,1,则要使得fx在0,1内存在唯一极值点,则fxxx1exaxx20在0,1ex存在唯一变号零点,即方程eax0在0,1内存在唯一解,即y与ya在0,1范围xx1exex内有唯一交点.设函数gx,x0,1,则gx0,gx在0,1单调递减,x2x又gxg1e;当x0时,gx exae,时,y与ya在0,1范围内有唯一交点,设为x0. xx1exaxexx当x0,x0时,gxa ,eax0,则fx0,fx在0,x02xx为减函数;当xx0,1时,eax0,则fxxx1exaxx20,fx在x0,1为增函数.即xx0为函数fx的极小值点. 综上所述:ae,,且xx0为函数fx的极小值点. ……………………12分 21.(本题满分12分)已知函数fxaxlnxa1(a为常数)
(1)当a0时,求函数fx在1,上的单调区间;


(2)当x1时,fxax成立,求证:a21. e21【解析】
(1)fxalnxa1xalnxa, x当a0时,由fx0得lnxa0,解得1xea, 由fx0得lnxa0,解得xea, aa所以函数fx在1,的单调递增区间是1,e,单调递减区间是e,.……5分 
(2)当x1时,由fxax得axlnxaxa10 2即alnxaxa10恒成立(*), 设gxlnxaxa1x1,则gxax1,由题可知a0 ①当a0时,gx0,所以gx在1,上单调递增, gxg11,可知x01且x01时, gx00,使得ax0gx00,可知(*)式不成立,则a0不符合条件; 1x②当a1时,gx0,所以gx在1,上单调递减, gxg110,可知(*)式成立,则a1符合条件,所以a1成立; e2③当0a1时,由gx0得1x111,由gx0得x, aa1所以gx在1,上单调递增,可知gx在,上单调递减, aa所以gxmaxgalna2,由(*)式得alna20, a设haalna2,则ha10,所以ha在0,1上单调递减, 而h1112220,ha0,可知a2. 2eee1. ……………………12分 e21a1综上所述,a22.(本题满分10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足OMOP16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;


(2)设点A的极坐标为2,,点B在曲线C2上,求ABO面积的最大值. 3【解析】
(1)设点P的极坐标为(,)(>0),M的极坐标为1,(1>0),由题设知OP=,OM=14. cosθ(>0)由OMOP16得C2的极坐标方程4cos 2(x2)y24x0. …………………5分 因此C2的直角坐标方程为
(2)设点B的极坐标为B,α (B>0).则B4cosα,于是ABO面积 13SOABsinAOB4cosα|sin(α)|2|sin(2α)|232332当α 12时,ABO的面积取得最大值23. 所以ABO面积的最大值为23. ……………………10分 23.(本题满分10分)已知函数f(x)2x14x5的最小值为M.
(1)求M; 222
(2)若实数a,b,c满足abc2M,求(a1)(b2)(c3)的最小值. 16x4,x215【解析】
(1)f(x)2x6,<x,如图所示:2456x4,x>4 577∴f(x)maxf(), ∴M . ……………………5分 422(2) 由
(1)知abc7 ∴(a1)(b2)(c3) 2(a1)2(b2)2(c3)22(a1)(b2)2(a1)(c3)2(b2)(c3) 222∴(abc)43(a1)(b2)(c3) 222(a1)(b2)(c3)∴743 22

∴(a1)2(b2)2(c3)23,当且仅当a0,b3,c4时值最小. ∴(a1)2(b2)2(c3)2的最小值为3. ……………10分 (注:柯西不等式也可)

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