2017年北京高考理科数学试题及答案 2017年数学高考试题_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」

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2017年北京高考理科数学试题及答案 2017年数学高考试题

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2017年数学高考试题
绝密★启封并使用完毕前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)若集合A={x|-23},则AᴨB= (A){x|-2
(2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 (A)(–∞,1) (B)(–∞,-1) (C)(1,+∞) (D)(–1,+∞)

(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为 3(A)2 (B)2 (C)5

(4)若x,y满足 8(D)5 3 x≤3, x + y≥2,则x + 2y的最大值为 y≤x, (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 1

(5)已知函数f(x)3x,则f(x) 3 (A)是奇函数,且在R上是增函数 (B)是偶函数,且在R上是增函数 (C)是奇函数,且在R上是减函数 (D)是偶函数,且在R上是减函数 x

(6)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得mn”是“mn<0”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 (A)32 (B)23 (C)22 (D)2

(8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与(参考数据:lg3≈0.48) (A)1033 (B)1053 (C)1073 (D)1093 M最接近的是 N第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。 y21的离心率为3,则实数m=_______________.

(9)若双曲线xm2

(10)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=–1,a4=b4=8,则2a2=__________. b2

(11)在极坐标系中,点A在圆2cos4sin40上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 .

(12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称。
若sin1,则cos()= . 3

(13)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________.

(14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3。
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是_________。
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是_________。 三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。


(15)(本小题13分) 在△ABC中,A =60°,c=(Ⅰ)求sinC的值; (Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积.

(16)(本小题14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=6,AB=4. 3 a. 7 (I)求证:M为PB的中点; (II)求二面角B-PD-A的大小; (III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。

(17)(本小题13分) 为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药。一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“* ”表示服药者,“+”表示为服药者. (Ⅰ)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率; (Ⅱ)从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E(); (Ⅲ)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

(18)(本小题14分) 已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,1)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,2过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点. (Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.

(19)(本小题13分) 已知函数f(x)=excosx−x. (Ⅰ)求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 2

(20)(本小题13分) 设{an}和{bn}是两个等差数列,记 cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…), 其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数. (Ⅰ)若an=n,bn=2n–1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,cnM;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列. n2017年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷)答案 一、

(1)A

(5)A 二、

(9)2

(11)1

(10)1

(2)B

(6)A

(3)C

(7)B

(4)D

(8)D 7

(12) 9

(14)Q1 p2

(13)1,2,3(答案不唯一) 三、

(15)(共13分) 3解:(Ⅰ)在△ABC中,因为A60,ca, 7csinA3333. a72143(Ⅱ)因为a7,所以c73. 7所以由正弦定理得sinC由余弦定理a2b2c22bccosA得72b2322b3解得b8或b5(舍). 113所以△ABC的面积SbcsinA8363. 2221, 2

(16)(共14分) 解:(I)设AC,BD交点为E,连接ME. 因为PD∥平面MAC,平面MAC平面PBDME,所以PD∥ME. 因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点,所以M为PB的中点. (II)取AD的中点O,连接OP,OE. 因为PAPD,所以OPAD. 又因为平面PAD平面ABCD,且OP平面PAD,所以OP平面ABCD. 因为OE平面ABCD,所以OPOE. 因为ABCD是正方形,所以OEAD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,0,2),D(2,0,0),B(2,4,0), BD(4,4,0),PD(2,0,2). nBD04x4y0设平面BDP的法向量为n(x,y,z),则,即. 2x2z0nPD0令x1,则y1,z2.于是n(1,1,2). np1. |n||p|2平面PAD的法向量为p(0,1,0),所以cos由题知二面角BPDA为锐角,所以它的大小为. 3 (III)由题意知M(1,2,22). ),D(2,4,0),MC(3,2,22设直线MC与平面BDP所成角为,则sin|cos||nMC|26. 9|n||MC|所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为

(17)(共13分) 26. 9解:(Ⅰ)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人, 所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为(Ⅱ)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C. 所以的所有可能取值为0,1,2. 150.3. 501C2C1C212122C22P(0)2,P(1)2,P(2)2. C46C43C46所以的分布列为  P 0 1 2 121 636121故的期望E()0121. 636(Ⅲ)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.

(18)(共14分) 解:(Ⅰ)由抛物线C:y22px过点P(1,1),得p所以抛物线C的方程为y2x. 抛物线C的焦点坐标为(1. 211,0),准线方程为x. 44(Ⅱ)由题意,设直线l的方程为ykxN(x2,y2). 1(k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),21ykx由2,得4k2x2(4k4)x10. y2x则x1x21k1,. xx12k24k2因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为yx,点A的坐标为(x1,y1). 直线ON的方程为y因为 y1y2y1yyy2y12x1x2 2x112x2x2y2yyx,点B的坐标为(x1,21). x2x211(kx1)x2(kx2)x12x1x222 x2(2k2)x11x22(x2x1)x 2 (2k2)14k21k2k2x2 0, 所以yy2y11x2x1. 2 故A为线段BM的中点.

(19)(共13分) 解:(Ⅰ)因为f(x)excosxx,所以f(x)ex(cosxsinx)1,f(0)0. 又因为f(0)1,所以曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y1. (Ⅱ)设h(xx)ex,h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx. 当x(0,π2)时,h(x)0, 所以h(x)在区间[0,π2]上单调递减. 所以对任意x(0,π2]有h(x)h(0)0,即f(x)0. 所以函数f(x)在区间[0,π2]上单调递减. 因此f(x)在区间[0,π]上的最大值为f(0)1,最小值为f(π)π222.

(20)(共13分) x则解:(Ⅰ)c1b1a1110, c2max{b12a1,b22a2}max{121,322}1, c3max{b13a1,b23a2,b33a3}max{131,332,533}2. 当n3时,(bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0, 所以bknak关于kN*单调递减. 所以cnmax{b1a1n,b2a2n, 所以对任意n1,cn1n,于是cn1cn1, 所以{cn}是等差数列. (Ⅱ)设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,则 ,bnann}b1a1n1n. bknakb1(k1)d2[a1(k1)d1]nb1a1n(d2nd1)(k1). b1a1n(n1)(d2nd1),当d2nd1时,所以cn ban,当dnd时,1121 ①当d10时,取正整数m此时,cm,cm1,cm2,d2,则当nm时,nd1d2,因此cnb1a1n. d1是等差数列. ②当d10时,对任意n1, cnb1a1n(n1)max{d2,0}b1a1(n1)(max{d2,0}a1). 此时,c1,c2,c3,③当d10时, 当n,cn,是等差数列. d2时,有nd1d2. d1所以cnb1a1n(n1)(d2nd1)bdn(d1)d1a1d212 nnnn(d1)d1a1d2|b1d2|. 对任意正数M,取正整数mmax{M|b1d2|a1d1d2d2,}, d1d1故当nm时, cnM. n2017年数学高考试题。
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