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八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习 无理数的定义

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2020-02-14 16:23数学 465 ℃
无理数的定义

有德教育 第二章:实数 【无理数】 1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型:

(1)特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;

(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01„(两个1之间依次多1个0)等。

(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如:2-是无理数

(4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2,

(5)开方开不尽的数,如:2,5,39等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:) 3.有理数与无理数的区别:

(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;

(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。 例:

(1)下列各数:①3.

141、②0.33333„„、③5

7、④π、⑤2.

25、⑥

2、3⑦0.3030003000003„„(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有____;是无理数的有___。(填序号)

(2)有五个数:0.125125„,0.1010010001„,-,4,32其中无理数有 ( )个
【算术平方根】: 1. 定义:如果一个正数x的平方等于a,即x2a,那么,这个正数x就叫做a的算术平方根,记为:“a”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。例如32=9,那么9的算术平方根是3,即93。
特别规地,0的算术平方根是0,即00,负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性:

(1)若a 有意义,则被开方数a是非负数。

(2)算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a;而平方根具有两个 1 / 9

有德教育 互为相反数的值,表示为:a。
例:

(1)下列说法正确的是 ( ) A.1的立方根是1; B.42;(C)、81的平方根是3; ( D)、0没有平方根;

(2)下列各式正确的是( ) A、819 B、3.143.14 C、2793 D、532

(3)(3)2的算术平方根是 。

(4)若xx有意义,则x1___________。

(5)已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足a3(b4)20,求c的取值范围。

(6)(提高题)如果x、y分别是4-3 的整数部分和小数部分。求x - y的值. 平方根: 1.定义:如果一个数x的平方等于a,即x2a,那么这个数x就叫做a的平方根;,我们称x是a的平方(也叫二次方根),记做:xa(a0) 2.性质:

(1)一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;

(2)0只有一个平方根,它是0本身;

(3)负数没有平方根 例

(1)若x的平方根是±2,则x= ;16的平方根是

(2)当x 时,3-2x有意义。

(3)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少。这个正数是多少。 3. (a)2(a0)与a2的性质 2

(1)(a)2a(a0)如:7)7

(2)a2|a|中,a可以取任意实数。
如52|5|5 2(-3)|-3|3 例:1.求下列各式的值 2(-49)

(1)72

(2)(-7)

(3)22.已知(a1)2a1,那么a的取值范围是 。
3.已知2<x<3,化简(2-x)2|x3| 。

【立方根】 1.定义:一般地,如果以个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也 2 / 9

有德教育 叫做三次方根)记为3a,读作,3次根号a。如23=8,则2是8的立方根,0的立方根是0。
2.性质:正数的立方根的正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1,-1. 例:

(1)64的立方根是

(2)若于

(3)下列说法中:①3都是27的立方根,②3y3y,③64的立方根是2,④384。 23a2.89,3ab28.9,则b等其中正确的有 ( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 比较两个数的大小: 方法一:估算法。
如3<10<4 方法二:作差法。如a>b则a-b>0. 方法三:乘方法.如比较26与33的大小。 例:比较下列两数的大小 10-31与

(2)52与35

(1) 22
【实数】 定义:

(1)有理数与无理数统称为实数。
在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。

(2)实数也可以分为正实数、0负实数。 a(a0)1实数的性质:实数a的相反数是-a;实数a的倒数是(a≠0);实数a的绝对值|a|=,aa(a0)它的几何意义是:在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一 实数与数轴的关系:每个实数与数轴上的点是一一对应的

(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。

(2)数轴上的每个点都表示已个实数。 3 / 9

有德教育 例:

(1)下列说法正确的是( ); A、任何有理数均可用分数形式表示 ; B、数轴上的点与有理数一一对应 ; C、1和2之间的无理数只有2 ; D、不带根号的数都是有理数。

(2)a,b在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是( ) a 0 b A、ab B、ab C、ab D、ba

(3)比较大小(填“>”或“<”). 3 10, 3 320, 76______67,

(4)数 7,2,3 的大小关系是 ( ) A. 732 B. 372 C. 273

(5)将下列各数:2,38,3,15______________________________________。

(6)若a3,b2,且ab0,则:ab= 。

【二次根式】 定义:形如(的式子叫做二次根式,a叫做被开方数 aa0)注意:

(1)从形式上看二次根式必须有二次根号“是二次根式。

(2)被开方数a可以是数,也可以是代数式。
若a是数,则这个数必须是非负数;若a是代数式,则这个代数式的取值必须是非负数,否则没有意义。 例:下列根式是否为二次根式

(1)-3

(2)|-3|

(3)-a

(4)二次根式的性质: 性质
1:aba.b(a0,b0) 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,运用这个性质也可以对二次根式进行化简。 性质
2:”,如9是二次根式,而9=3,3显然就不 D. 327 151 , 22,用“<”连接起来;2 3aa .(a0,b0) 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。bb 4 / 9

有德教育 最简二次根式:被开方数中不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式。
例:1.化简:

(1)1215

(2)27a4b2(b0)

(3)2.计算: 4 9x18110.52311 30.12533 427168 3.已知:x7121,y10.064,求代数式x2x10y3245y的值。 232 6.(提高题)观察下列等式:回答问题: ①1 ③1 1111111111 ② 11111222211122216122311111,„„ 11223311234

(1)根据上面三个等式的信息,请猜想111的结果; 2245

(2)请按照上式反应的规律,试写出用n表示的等式,并加以验证。 课后练习 一、重点考查题型: 1.-1的相反数的倒数是 2.已知|a+3|+b+1 =0,则实数(a+b)的相反数 3.数-3.14与-Л的大小关系是 4.和数轴上的点成一一对应关系的是 5.和数轴上表示数-3的点A距离等于2.5的B所表示的数是 26.在实数中Л,- ,0, 3 ,-3.14, 4 无理数有 个 57.一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是( ) (A)非负数 (B)非正数 (C)负数 (D)正数 8.若x<-3,则|x+3|= 。 5 / 9

有德教育 9.下列说法正确是( ) (A) 有理数都是实数 (B)实数都是有理数 (B) 带根号的数都是无理数 (D)无理数都是开方开不尽的数 10.实数在数轴上的对应点的位置如图,比较下列每组数的大小:

(1) c-b和d-a

(2) bc和ad 二、考点训练: *1.判断题:

(1)如果a为实数,那么-a一定是负数;( )

(2)对于任何实数a与b,|a-b|=|b-a|恒成立;( )

(3)两个无理数之和一定是无理数;( )

(4)两个无理数之积不一定是无理数;( )

(5)任何有理数都有倒数;( )

(6)最小的负数是-1;( )

(7)a的相反数的绝对值是它本身;( )

(8)若|a|=2,|b|=3且ab>0,则a-b=-1;( ) 2.把下列各数分别填入相应的集合里 3-122Л-|-3|,21.3,-1.234,- ,0,-9 ,- , - ,8 , (2 -3 )0,3-2,782ctg45°,1.2121121112......中 无理数集合{ } 负分数集合{ } 整数集合{ } 非负数集合{ } *3.已知1 4.下列各数中,哪些互为相反数。哪些互为倒数。哪些互为负倒数。
1-3, 2 -1, 3, - 0.3, 3, 1 +2 , 3 3-1互为相反数: 互为倒数: 互为负倒数: *5.已知x、y是实数,且(X-2 )2和|y+2|互为相反数,求x,y的值 6 / 9

有德教育 6.a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2, 求|a+b| +4m-3cd= 。 2m2+1(a-3b)2+|a2-4|*7.已知 =0,求a+b= 。 a+2三、解题指导: 1.下列语句正确的是( ) A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数 C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数一定不是无理数。 2.和数轴上的点一一对应的数是( ) A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数 2.零是( ) A、最小的有理数 B、绝对值最小的实数 C、最小的自然数 D、最小的整数 4.如果a是实数,下列四种说法:

(1)a2和|a|都是正数,

(2)|a|=-a,那么a一定是负数, 1

(3)a的倒数是 ,

(4)a和-a的两个分别在原点的两侧,几个是正确的有 个 a*5.比较下列各组数的大小: 3 (1) 3 21112 (2)a
(1) 判定a+b,a+c,c-b的符号

(2) 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8.数轴上点A表示数-1,若AB=3,则点B所表示的数为 9.已知x<0,y>0,且y<|x|,用"<"连结x,-x,-|y|,y。 10.最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么。
7 / 9 O是原点,且|a|=|c|

有德教育 11.绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么。 12.把下列语句译成式子:

(1)a是负数 ;

(2)a、b两数异号 ;

(3)a、b互为相反数 ;

(4)a、b互为倒数 ;(5)x与y的平方和是非负数 ;

(6)c、d两数中至少有一个为零 ;

(7)a、b两数均不为0 。 *13.数轴上作出表示2 ,3 ,-5 的点。 四.独立训练: 31.0的相反数是 ,3-л的相反数是 ,-8 的相反数是 ;-л的绝对值是 ,0 的绝对值是 ,2 -3 的倒数是 2.数轴上表示-3.2的点它离开原点的距离是 。 11A表示的数是- ,且AB= ,则点B表示的数是 。 232233 -3 ,л,(1-2 )º,- ,0.1313„,2cos60º, -3-1 ,1.101001000„ 7(两1之间依次多一个0),其中无理数有 ,整数有 ,负数有 。
4. 若a的相反数是27,则|a|= ;5.若|a|=2 ,则a= 5.若实数x,y满足等式(x+3)2+|4-y|=0,则x+y的值是 6.实数可分为( ) A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数 *7.若2a与1-a互为相反数,则a等于a= 8.当a为实数时,a2 =-a在数轴上对应的点在( ) A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧 *9.代数式abab + + 的所有可能的值有 个。 |a||b||ab|10.已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图

(1)比较a-b与a+b的大小

(2)化简|b-a|+|a+b| 8 / 9

有德教育 11.实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示,其中|a|=|c| 试化简:|b-c|-|b-a|+|a-c-2b|-|c-a| *12.已知等腰三角形一边长为a,一边长b,且(2a-b)2+|9-a2|=0 。
求它的周长。 *13.若3,m,5为三角形三边,化简:(2-m)2 -(m-8)2 9 / 9

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