北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习 无理数的定义_中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」




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北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习 无理数的定义

中小学试题|家庭教育题库|辅导习题「中国戏曲学院附属中等戏曲学校」来源: https://www.gxfz.org 2020-02-14 16:23中学 312 ℃
无理数的定义

【无理数】 √2=1.414 √3=1.732 √5=2.236 √7=2.645 (熟记) 1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。 2. 常见无理数的几种类型:

(1)特殊意义的数,如:圆周率以及含有的一些数,如:2-,3等;

(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。


(3)无理数与有理数的 和/差 结果都是无理数。如:2-是无理数

(4)无理数 乘/除以 一个不 为0的有理数结果是无理数。如2,

(5)开方开不尽的数,如:2,5,39等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:) 3.有理数与无理数的区别:

(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;

(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
例:

(1)下列各数:①3.

141、②0.33333……、③5

7、④π、⑤2.

25、⑥

2、⑦0.3030003000003……3(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有____;是无理数的有___。
(填序号)

(2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,4,32其中无理数有 ( )个 拓展中考在线: 1.下列各数中:-1,,3.14,-π,3,0,2,, ,-0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1).其中,是有理数的是_____________,是无理数的是_______________.在上面的有理数中,分数有____________,整数有______________. 2.x2=8,则x______分数,______整数,______有理数.(填“是”或“不是”) 3.面积为3的正方形的边长______有理数;面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 4.一个高为2米,宽为1米的大门,对角线大约是______米(精确到0.01). 5.下列数中是无理数的是( ). A.0.1223 B.6.下列说法中正确的是( ). A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数 7.下列语句正确的是( ). A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数 C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数 32725222 C.0 D. 27

8.在直角△ABC中,∠C=90°,AC= A.整数 A.小数 3,BC=2,则AB为( ). 2 D.不能确定 D.不能确定 B.分数 C.无理数 B.分数 C.无理数 9.面积为6的长方形,长是宽的2倍,则宽为( ). 10.下列说法中,正确的是( ). A.数轴上的点表示的都是有理数 B.无理数不能比较大小 C.无理数没有倒数及相反数 D.实数与数轴上的点是一一对应的 11.在20,38,0,9,0.010010001……,,-0.333…,5, 3.1415, 2 2.010101…(相邻两个1之间有1个0)中,无理数有( ). A.1个 B.2个 C .3个 D.4个 12.下列说法正确的是( ). A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数 C.无限小数是无理数 D.13.下列说法错误的是 ( ). A.无理数的相反数还是无理数 B.无限小数都是无理数 C.正数、负数统称有理数 D.实数与数轴上的点一一对应 14.下列说法中:

1、无理数就是开方开不尽的数;

2、无理数是无限小数;

3、无理数包括正无理数、零、负无理数;

4、无理数可以用数轴上的点来表示.共有( )个是正确的. A.1 B.2 C.3 D.4 15.下列各数中,不是无理数的是( ). A.7 B.0.5 C.2 D. 0.151151115… 16.下列说法正确的是( ). A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限不循环小数 C.无限小数是无理数 D.带根号的数都是无理数 17.在实数:3.14159, ,π,,1.010010001…, 是无理数 3中,无理数的( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B.π C. D.|﹣2| 18.下列实数中,无理数是( ). A.﹣ 19.下列实数中是无理数的是( ). A.4 B. 38 C. 0 D. 2 20.边长为4的正方形的对角线的长是 ( ). A.整数 B.分数 C.有理数 D.不是有理数 21.已知下列结论:①在数轴上只能表示无理数2;②任何一个无理数都能用数轴上的点表示;③实数与数轴上的点一一对应;④有理数有无限个,无理数有有限个.其中正确的结论是( ). A.①② B.②③ C.③④ D.②③④


【算术平方根】: 21. 定义:如果一个正数x的平方等于a,即xa,那么,这个正数x就叫做a的算术平方根,记为:“a”,读作,“根号a”,其中,a称为被开方数。例如3=9,那么9的算术平方根是3,即93。
2特别规地,0的算术平方根是0,即00,负数没有算术平方根 2.算术平方根具有双重非负性:

(1)若a 有意义,则被开方数a是非负数。

(2)算术平方根本身是非负数。 3.算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a。
例:

(1)下列说法正确的是 ( ) A.1的立方根是1; B.42;(C)、81的平方根是3; ( D)、0没有平方根;

(2)下列各式正确的是( ) A、819 B、3.143.14 C、2793 D、53

(3)(3)2的算术平方根是 。

(4)若x2 x有意义,则x1___________。 2

(5)已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足a3(b4)0,求c的取值范围。


(6)(提高题)如果x、y分别是4-3 的整数部分和小数部分。
求x - y的值. 平方根: 21.定义:如果一个数x的平方等于a,即xa,那么这个数x就叫做a的平方根;,我们称x是a的平方(也叫二次方根),记做:xa(a0) 2.性质:

(1)一个正数有两个平方根,且它们 相等或 互为相反数;

(2)0只有一个平方根,它是0本身;

(3)负数没有平方根 例

(1)若x的平方根是±2,则x= ;16的平方根是

(2)当x 时,3-2x有意义。

(3)一个正数的平方根分别是m和m-4,则m的值是多少。这个正数是多少。 3. (a)2(a0)与a2的性质 2(a)2a(a0)如:7)7

(2)a2|a|中,a可以取任意实数。如52|5|5

(1)2(-3)|-3|3

例:1.求下列各式的值 2(-

(1)72

(2)(-7)

(3)249) 2.已知(a1)2a1,那么a的取值范围是 。3.已知2<x<3,化简(2-x)2|x3| 。
【立方根】 1.定义:一般地,如果以个数x的立方等于a,即x=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)记3 为3a,读作,3次根号a。如2=8,则2是8的立方根,0的立方根是0。32.性质:正数的立方根的正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1,-1. 例:

(1)64的立方根是 33a2.89,ab28.9,

(2)若则b等于 3

(3)下列说法中:①3都是27的立方根,②3yy,③64的立方根是2,④384。 2其中正确的有 ( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 平方根与立方根练习题 一、填空题 21.如果x9,那么x=________;如果x9,那么x________; 2.若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则这个数是_________; 3.算术平方根等于它本身的数有________,立方根等于本身的数有________. 4. 若x3x,则x ,若x2x,则x 。 5.81的平方根是_______,4的算术平方根是_________,102的算术平方根是 ; 6.当m______时,3m有意义;当m______时,3m3有意义; 7.若一个正数的平方根是2a1和a2,则a____,这个正数是 ; 8.a12的最小值是________,此时a的取值是________. 29.若x1|y2|0,则x+y=; 10.若x64,则3x=____. 11.立方根是-8的数是___,64的立方根是____。
12.如果x、y满足xy|x2|=0,则x=,y=___;

13、如果a的算术平方根和算术立方根相等,则a等于 ; 14.若x的算术平方根是4,则x=___;若3x=1,则x=___

二、选择题 1. 若xa,则( ) A.x0 B. x0 C. a0 D. a0 2.(3)2的值是( ). A.3 B.3 C.9 D.9 3.设x、y为实数,且y45x2x5,则xy的值是( )A、1 B、9 C、4 D、5 4.如果3x5有意义,则x可以取的最小整数为( ).A.0 B.1 C.2 D.3 5.一个等腰三角形的两边长分别为52和23,则这个三角形的周长是( ) A、10223 B、5243 C、10223或5243 D、无法确定 6. 若x5能开偶次方,则x的取值范围是( )A.x0 B.x5 C. x5 D. x5 7. 若n为正整数,则2n11等于( )A.-1 B.1 C.±1 D.2n1 8. 若正数a的算术平方根比它本身大,则( )A.0a1 B.a0 C. a1 D. a1

9、2008年是北京奥运年,下列各整数中,与2008最接近的一个是( )A.43;B、44;C、45;D、46; 10.如果一个自然数的算术平方根是n,则下一个自然数的算术平方根是( ) 2A、n+1;B、n2+1;C、n1;D、n1。 11. 以下四个命题 ①若a是无理数,则a是实数;②若a是有理数,则a是无理数;③若a是整数,则a是有理数;④若a是自然数,则a是实数.其中,真命题的是( ) A.①④ B.②③ C.③ 12. 当0a1,下列关系式成立的是( ) A.aa,3aa D.④ B.aa,3aa C.aa,3aa D.aa,3aa 13. 下列说法中,正确的是( ) A.27的立方根是3,记作273B.25的算术平方根是5 C.a的三次立方根是3aD.正数a的算术平方根是a 14.下列命题中正确的是( )

(1)0.027的立方根是0.3;

(2)3a不可能是负数;

(3)如果a是b的立方根,那么ab0;(4)一个数的平方根与其立方根相同,则这个数是1. A.

(1)

(3) B.

(2)

(4) C.

(1)

(4) D.

(3)(4) 15. 下列各式中,不正确的是( ) A.(3)23(3)3 B.3(8)2(2)3 C.a22a21 D.(5)25 a211116.若a<0,则等于() A、 B、 C、± D、0 2222a

17、化简(-3) 的结果是( ) A.3 B.-3 C.±3 D.9 2

18.已知正方形的边长为a,面积为S,则( )A.Sa B.±SaC.aSD.aS

19、算术平方根等于它本身的数( )A、不存在;B、只有1个;C、有2个;D、有无数多个;

20、下列说法正确的是( ) A.a的平方根是±a; B.a的算术平方根是a; C.a的算术立方根3a; D.-a的立方根是-3a.

21、满足-2<x<3的整数x共有( ) A.4个;B.3个;C.2个;D.1个. a -1 0 b 1 .....

22、如果a、b两数在数轴上的位置如图所示,则 算术平方根是( ); A、a+b;B、a-b;C、b-a;D、-a-b;

23、如果-x1有平方根,则x的值是( ) A、x≥1;B、x≤1;C、x=1;D、x≥0; 24.已知a中,a是正数,如果a的值扩大100倍,则a的值( ) A、扩大100倍;B、缩小100倍;C、扩大10倍;D、缩小10倍; 三、解方程 1. (2x1) 四、解答题 1.已知: 实数a、b满足条件 32ab2的8 2.4(x+1)2=8 3. (2x+1)2 -16=0 4. (2x-5)3=-27 a1(ab2)20 2.已知一个正数的平方根是2a-1和a-5,求a的值 3.

(1)若b=a3+3a+2,求b的值。


(2)已知a、b满足a5+25a=b+4,求ab的值 a 4.实数a,b,c在数轴上的位置如图,且ab,化简aab(ca)2c. 22c a 0 b

5.已知一个正方体的体积是1000cm2,现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体,截去后余下的体积是488cm2,问截去的每个小正方体的棱长是多少。
【估算】 用估算法确定无理数的大小:对于带根号的无理数的近似值得确定,可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”,即两边无限逼近,逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围,再确定十分位,百分位等小数部分。
方法点拨:解决此类问题的关键是依据平方根(立方根)及开平方(开立方)的定义,进而采取两边逼近的办法求解。 例:估算下列各数的大小 (误差小于0.1)

(1)327

(2) 例:通过估算比较下列各组数的大小 比较两个数的大小: 3327(精确到0.1)(误差小于1)

(3)3345 方法一:估算法。如3<10<4 方法二:作差法。
如a>b则a-b>0. 方法三:乘方法.如比较26与33的大小。 例:比较下列两数的大小

(1) 10-31与

(2)52与35 22
【用计算器开方】

用估算的方法比较数的大小 用估算法比较两个数的大小,一般至少有一个是无理数,且在比较大小时,一般先采用分析法,估算出无理数的大致范围,再作具体比较 当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论:

(1)若a>b≥0,则 ab

(2)若a>b,则3a3b或a3b3 22

(3)若a、b都为正数,且a>b时,则a>b
【实数】 定义:

(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。

(2)实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质:实数a的相反数是-a;实数a的倒数是是:在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的a(a0)1(a≠0);实数a的绝对值|a|=,它的几何意义aa(a0)

数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。 实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一 实数与数轴的关系:每个实数与数轴上的点是一一对应的

(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。


(2)数轴上的每个点都表示已个实数。 例:

(1)下列说法正确的是( ); A、任何有理数均可用分数形式表示 ; B、数轴上的点与有理数一一对应 ; C、1和2之间的无理数只有2 ; D、不带根号的数都是有理数。


(2)a,b在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是( ) A、ab B、ab C、ab D、ba

(3)比较大小(填“>”或“<”). 3 10,  a 0 b 3 320, 76______67, 511 , 22

(4)数 7,2,3 的大小关系是 ( ) A. 732 B. 372 C. 273 D. 327

(5)将下列各数:2,38,3,15,用“<”连接起来;______________________________________。

(6)若a3,b2,且
【二次根式】 ab0,则:ab= 。 aa0)定义:形如(的式子叫做二次根式,a叫做被开方数 注意:

(1)从形式上看二次根式必须有二次根号“”,如9是二次根式,而9=3,3显然就不是二次根式。

(2)被开方数a可以是数,也可以是代数式。
若a是数,则这个数必须是非负数;若a是代数式,则这个代数式的取值必须是非负数,否则没有意义。 例:下列根式是否为二次根式 -3|

(3)-a

(4)

(1)-3

(2)|二次根式的性质: 性质
1:ab2 3a.b(a0,b0) 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,运用这个性质也可以对二次根式进行化简。

性质
2:aba.(a0,b0) 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。 b最简二次根式:被开方数中不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式。 例:1.化简:

(1)1215

(2)27a4b2(b0)

(3)2.计算: 4 9x1810.52311 30.125342716 3.已知:x7121,y10.064,求代数式x22331 82x10y3245y的值。 6.(提高题)观察下列等式:回答问题: ①1 ③1111111111111111 ② 11122216122222321111111,…… 331123242

(1)根据上面三个等式的信息,请猜想1 11的结果; 4252

(2)请按照上式反应的规律,试写出用n表示的等式,并加以验证。

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